Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен:
1) Находим область определения функции .
2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс).
3) В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось и откладываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.
Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично.
Начнём с распространённой квадратичной функции:
Пример 1
Найти интервалы знакопостоянства функции.
Решение :
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, точки разрыва и «нехорошие» промежутки отсутствуют.
2) Найдём нули функции. Для этого нужно решить уравнение . В данном случае:
Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня:
3) Откладываем все найденные точки на числовой оси:
В статье Область определения функции
я выполнял подобные чертежи схематически, но сейчас для большей наглядности изложения буду их масштабировать (за исключением клинических случаев). На том же уроке мы узнали, как выяснить знаки функции на интервалах - можно проанализировать расположение параболы. В данном случае ветви параболы направлены вверх, следовательно, на интервалах 
функция будет положительна: . Попа параболы сидит на интервале ниже оси абсцисс, и функция здесь отрицательна: .
Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Например, . Заметная часть аудитории уже затруднится сказать, как принципиально выглядит график данной функции. И это, так скажем, ещё только минимальное усложнение.
Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ:
Рассмотрим функцию непрерывную на некотором интервале , график которой не пересекает ось на этом интервале. Тогда:
Если функция положительна в какой-либо точке интервала , то она положительна и ВО ВСЕХ точках данного интервала;
Если функция отрицательна в какой-либо точке интервала , то она отрицательна и ВО ВСЕХ точках данного интервала.
Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает ось абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (или наоборот). Поэтому знак функции на таком интервале легко определить по одной-единственной точке.
Проведём небольшой эксперимент. Представьте, что вы совсем не знаете, как выглядит график функции и вам необходимо найти её интервалы знакопостоянства (кстати, если действительно не знаете, таки начертите многострадальную примадонну =)).
1) Берём произвольную
точку интервала . С вычислительной точки зрения проще всего взять . Подставляем её в нашу функцию:
Следовательно, функция положительна и в каждой точке интервала .
2) Берём произвольную точку интервала , здесь по удобству вне конкуренции ноль.
Снова выполняем подстановку:
А, значит, функция отрицательна и в каждой точке интервала .
3) И, наконец, обрабатываем наиболее простую точку интервала :
Поэтому функция положительна в каждой точке интервала .
Выполненные подстановки, вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует и черновик.
Фиксируем полученные результаты на числовой оси:
Да, вы не имеете никаких представлений о параболе, но совершенно точно можете сказать, что на интервалах 
график функции расположен ВЫШЕ оси , а на интервале - НИЖЕ данной оси.
Ответ :
Если ;
, если .
Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них:
.
Проводим аналогичные действия и даём ответ 
.
Решить квадратичное неравенство .
Проводим аналогичные действия и даём ответ .
Найти
область определения
функции
.
Проводим аналогичные действия, даём ответ .
Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции . Здесь прямая пересекает ось абсцисс в точке , при этом слева от данной точки (график ниже оси ), а справа (график выше оси ). Тем не менее, для тех, кто в танке, задача разрешима и методом интервалов.
Может ли функция быть положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье Область определения функции
мы рассмотрели типовые примеры. В частности выяснили, что 
(парабола, полностью лежащая в верхней полуплоскости). Метод интервалов проходит и тут! Рассматриваем единственный интервал , берём из него самую удобную точку и выполняем подстановку: 
. А значит, функция положительна и в каждой точке интервала .
Математическое представление функции показывает наглядно то, как одна величина всецело определяет значение иной величины. Традиционно рассматриваются числовые функции, которые ставят в соответствие одним числам другие. Нулем функции, обыкновенно называют значение довода, при котором функция обращается в нуль.
Инструкция
1. Для того, дабы обнаружить нули функции, нужно приравнять ее правую часть к нулю и решить полученное уравнение. Представим, вам дана функция f(x)=x-5.
2. Для нахождения нулей этой функции, возьмем и приравняем ее правую часть к нулю: x-5=0.
3. Решив это уравнение получим, что x=5 и это значение довода и будет нулем функции. То есть при значении довода 5, функция f(x) обращается в нуль.
Под представлением функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить больше верно, это «закон», по которому всему элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие определенный элемент иного множества (называемого областью значений).
Вам понадобится
- Знания в области алгебры и математического обзора.
Инструкция
1. Значения функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Скажем область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Дабы обнаружить значение функции в определенной точке нужно подставить взамен довода функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значение м функции . Пускай дана функция f(x)=|x| – 10 + 4x. Обнаружим значение функции в точке x=-2. Подставим взамен x число -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.
Обратите внимание!
Раньше чем искать значение функции в точке – удостоверитесь, что она входит в область определения функции.
Полезный совет
Аналогичным методом дозволено обнаружить значение функции нескольких доводов. Различие в том, что взамен одного числа нужно будет подставить несколько – по числу доводов функции.
Функция представляет собой установленную связанность переменной у от переменной x. Причем всем значению х, называемого доводом, соответствует исключительное значение у – функции. В графическом виде функция изображается на декартовой системе координат в виде графика. Точки пересечения графика с осью абсцисс, на которой откладываются доводы х, именуются нулями функции. Поиск допустимых нулей – одна из задач по изысканию заданной функции. При этом учитываются все допустимые значения самостоятельной переменной x, образующие область определения функции (ООФ).
Инструкция
1. Нуль функции – это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк.
2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x).
3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений.
4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х.
5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога.
Обратите внимание!
При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль.
Полезный совет
Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.
2. Найдем нули функции.
f(x) при х 
.
Ответ f(x) при х .
2) х 2 >-4x-5;
x 2 +4x +5>0;
Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,
D=-4 Нет нулей.
4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.
2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости.
3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:
.
Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.
4) Пример. Решить систему неравенств:
Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .
Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.
5. Решение рациональных неравенств методом интервалов
В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=α делит числовую ось на две части - справа от точки α двучлен (х‑α)>0, а слева от точки α (х-α)<0.
Пусть требуется решить неравенство (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, где α 1 , α 2 ...α n-1 , α n - фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α 1 < α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α 1 , α 2 ...α n-1 , α n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α n , ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем - знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида 
P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.
Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.
2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.
Решение неравенств методом интервалов
3. 
< 20.
Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:
Для функции f(x) = – 20. Находим f(x):
откуда x = 29 и x = 13.
f(30) = – 20 = 0,3 > 0,
f(5) = – 1 – 20 = – 10 < 0.
Ответ: . Основные методы решения рациональных уравнений. 1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений - приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по...
X изменяется на промежутке (0,1], и убывает на промежутке
= ½ [
-(1/3)
],
при |z
|<
1.
b)
f
(z
)
= - ½ [
+
]
= -
(
),
при 1 < |z
|
< 3.
с)
f
(z
)
=
½ [
]= -
½
[
]
=
=
- ½
= -
, при |2 - z
|
< 1
Это круг радиуса 1 с центром в точке z = 2 .
В ряде случаев степенные ряды можно свести к набору геометрических прогрессий и после этого легко определить область их сходимости.
Пр. Исследовать сходимость ряда
.
. . +
+
+
+
1
+ ()
+ ()
2
+ ()
3
+ . . .
Решение.
Это сумма двух геометрических прогрессий
с q
1
=
, q
2
= ()
. Из условий их сходимости следует
< 1 ,
< 1 или |z
|
> 1 , |z
|
< 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо
1 < |z
|
< 2 .
