Основы математических моделей. Математическое моделирование

В общем случае, модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено эскизом, схемой, фотографией, графиком, таблицей и т.д.

Мы будем рассматривать только математические модели различных экономических процессов, которые описываются математической символикой и решаются с помощью соответствующих математических методов.

В экономической науке используют главным образом математические модели, описывающие изучаемое явление с помощью математического аппарата (функций, уравнений, неравенств, их систем).

В теории оптимальных решений главная роль отводится математическому моделированию. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных. Как цель, так и ограничения должны быть представлены в виде функций от управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего управляющего воздействия на объект управления при выполнении всех установленных ограничений.

Модель управляемого объекта строят для того, чтобы применить какой-либо вычислительный аппарат для оптимизации функционирования этого объекта (максимально возможного повышения эффективности его работы). Разработка модели почти всегда связана с попыткой достижения двух противоречивых целей: как можно точнее отобразить реальные процессы и получить модель максимально простую, чтобы с ней легко было работать.

Для применения количественных методов исследования экономических процессов требуется построить математическую модель объекта оптимизации. При построении модели объект, как правило, упрощается, схематизируется и схема объекта описывается с помощью того или иного математического аппарата.

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо объекта или класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математического аппарата и математической символики.

Математические модели имеют ряд преимуществ перед другими видами моделей. К наиболее важным из них можно отнести следующие:

· широкий диапазон применения,

· низкая по сравнению с другими видами стоимость создания модели,

· быстрота получения результатов исследования при использовании электронно-вычислительной техники,

· возможность экспериментирования с исследуемым экономическим процессом,

· возможность проверки правильности выдвинутых предпосылок и условий поставленной экономической задачи.

Математическая модель любой экономической задачи включает в себя целевую функцию, систему ограничений и критерий оптимальности.

Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, себестоимость, рентабельность и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной.

Целевая функция – характеристика объекта из условия дальнейшего поиска критерия оптимальности, математически связывающая между собой те или иные факторы объекта исследования.

При решении задач оптимизации необходимо определить критерий оптимальности, т.е. признак, по которому проводят сравнительную оценку альтернатив и выбирают среди них наилучшую с точки зрения поставленной цели оптимизации.

Критерий оптимальности – это показатель, имеющий, как правило, экономический смысл, который служит для формализации конкретной цели управления объектом исследования и выражается при помощи целевой функции.

Критерий оптимальности операции выполняет такую важную функцию как сравнительная оценка выбранных стратегий (решений) до начала их реализации и на завершающем этапе операции. Он позволяет провести анализ полученных результатов и сделать вывод о том, какая из стратегий была бы оптимальной.

Изменяемые при оптимизации величины, входящие в математическую модель объекта оптимизации, называют параметрами оптимизации , а соотношения, устанавливающие пределы возможного изменения этих параметров, - ограничениями .

Ограничения – это соотношения, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений, и фиксирующие основные внешние и внутренние свойства объекта. Эти ограничения могут быть заданы в форме равенств или неравенств (или их систем).

Решением математической модели экономической задачи, или допустимым планом, называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель может иметь множество решений, или допустимых планов, среди которых надо найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции.

Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным .

Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.

Таким образом , для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее математическую модель, по структуре включающую в себя систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Процесс построения математической модели называют математическим моделированием .

Составление модели объекта требует понимания сущности описываемого явления и знания математического аппарата.

Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных (оптимальных) решений.

При построении математической модели важно избежать, с одной стороны, чрезмерного упрощения экономического явления или процесса (т.к. излишнее упрощение не отражает реальной действительности), с другой стороны, - излишней его детализации и усложнения (т.к. это приводит к большому количеству переменных и затрудняет построение модели).

Основные элементы модели:

1) Исходные данные:

· детерминированные,

· случайные.

2) Искомые переменные:

· непрерывные,

· дискретные.

3) Зависимости:

· линейные (переменные входят в первой степени и нет их произведения),

· нелинейные (переменные входят в степени выше первой или есть произведение переменных).

Сочетание разнообразных элементов модели приводит к различным классам задач оптимизации (тема 2), требующим разных методов решения.

При решении конкретной экономической задачи применение методов оптимальных решений предполагает:

· построение математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности,

· изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев оптимальности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.

К основным методам принятия оптимальных решений можно отнести следующие:

1) Методы математического программирования:

· линейное программирование,

· нелинейное программирование,

· целочисленное программирование,

· динамическое программирование,

· выпуклое программирование,

· геометрическое программирование,

· параметрическое программирование

· стохастическое программирование,

· эвристическое программирование.

2) Методы теории массового обслуживания.

3) Методы теории игр.

4) Классические методы оптимизации (метод Лагранжа, градиентный метод).

5) Сетевые методы планирования и управления.

Для теории математического моделирования необходимо знать цель моделирования и представить в математическом виде объект моделирования. Слово «модель» происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Наиболее про­стым и наглядным примером моделирования являются гео­графические и топографические карты. Моделями являются структурные формулы в химии. Модель как средство позна­ния стоит между логическим мышлением и изучаемым про­цессом, явлением.

Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом В. Замещаемый объект называется ориги­налом, замещающий - моделью. Таким образом, модель - это заместитель оригинала. В зависимости от цели замеще­ния модель одного и того же оригинала может быть различ­ной. В науке и технике основной целью моделирования яв­ляется изучение оригинала при помощи более простой его модели. Замещение одного объекта другим имеет смысл только в случае их определенного сходства, аналогии.

Математическая модель является приближенным, выраженным в математических терминах, представлением объектов, концепций, систем или процессов. Объекты, кон­цепции, системы или процессы, подлежащие моделирова­нию, называют объектами моделирования (ОМ).

Все объекты и явления в большей или меньшей степени взаимосвязаны, но при моделировании пренебрегают боль­шинством взаимосвязей и объект моделирования рассматри­вают как отдельную систему. Если объект моделирования определен как отдельная система, то необходимо ввести принцип селективности, обеспечивающий выбор требуемых связей с внешней средой. Например, при моделировании электронных схем пренебрегают тепловым, акустическим, оптическим и механическим взаимодействием с внешней средой и рассматривают только электрические переменные. Принцип селективности вводит в систему ошибку, т. е. раз­ницу в поведении модели и объекта моделирования. Сле­дующим важным фактором моделирования является прин­цип причинности, связывающий в системе входные и вы­ходные переменные.

Для количественной оценки системы вводят понятие «состояния». Например, под состоянием электронной схемы понимают значения напряжений и токов в электронной схе­ме в данный момент времени.

При выводе математической модели аналитически чаще всего используются широко известные категории: законы, структуры и параметры.

Если какая-либо переменная величина у зависит от другой переменной х, то первая величина является функцией второй. Эта зависимость записывается в виде у = f(x) или у = у(х). В такой записи переменная х называется аргументом. Важной характеристикой функции является ее производная, процесс нахождения которой называется дифференцированием. Урав­нения, которые по математическим правилам связывают неиз­вестную функцию, ее производные и аргументы, называются дифференциальными. Процесс, обратный дифференцирова­нию, позволяющий по заданной производной найти саму фун­кцию, называется интегрированием.

Рассмотрим частный случай, когда функцией является путь, зависящий от аргумента - времени. Тогда производ­ная пути по времени - это скорость, а производная от ско­рости (или вторая производная от пути) - ускорение. Если йзвестна, например, скорость, то интегрированием находят путь, пройденный телом при движении за определенное вре­мя. Если известно только ускорение, то для нахождения пути операцию интегрирования производят дважды. При этом после вычисления первого интеграла становится изве­стной скорость.

Конечная цель создания математических моделей - установление функциональных зависимостей между пере­менными. Функциональная зависимость для каждой конк­ретной модели может принимать строго определенный вид. Когда моделируется устройство, на вход которого поступает сигнал х у а на выходе появляется сигнал у, то связь можно записать в виде таблицы. Для этого весь диапазон измене­ния входного и выходного сигналов разбивается на некото­рое число участков. Каждому участку диапазона изменения входного сигнала будет соответствовать определенный учас­ток диапазона изменения выходного сигнала. В сложных си­стемах, где имеется несколько входов и несколько выходов, аналитические зависимости выражаются системами диффе­ренциальных уравнений.

* Законы обычно формулируются для частных областей, Как, например, законы Кирхгофа, Ньютона. Применение этих законов к системе обычно фокусирует наше внимание на единственной области науки и техники. Используя зако­ны Кирхгофа и уравнения Максвелла для анализа электри­ческой системы, исследователь игнорирует другие (напри­мер, тепловые) процессы в системе.

Создание математической модели требует знания присут­ствующих в системе элементов и их взаимосвязей. Парамет­рами математической модели (ММ) являются входящие в системы уравнений различные коэффициенты. Эти ко­эффициенты вместе с уравнениями и граничными условия­ми образуют законченную ММ.

Любую математическую модель можно получить в результате: 1) прямого наблюдения явления, прямого его изучения и осмысливания (модели являются феноменоло­гическими); 2) некоторого процесса дедукции, когда новая модель получается как частный случай из некоторой более общей модели (такие модели называются асимптотически­ми); 3) некоторого процесса индукции, когда новая модель является естественным обобщением элементарных моделей (такие модели называются составными, или моделями ан­самблей).

Все системы существуют во времени и в пространстве. Математически это значит, что время и три пространствен­ные переменные могут рассматриваться в качестве незави­симых переменных.

Существует много признаков классификации математи­ческих моделей по признаку использования тех или иных переменных в качестве независимых, представленных в не­прерывной или дискретной форме; ММ классифицируют следующим образом:

1) модели с распределенными параметрами (все независи­мые переменные берутся в непрерывной форме);

2) модели с сосредоточенными параметрами (все независи­мые пространственные переменные дискретные, а вре­менная переменная непрерывна);

3) модели с дискретными параметрами (все независимые переменные берутся в дискретной форме).

На рис. 3.10, а...ж показана примерная классификация моделей. Все модели можно разделить на вещественные и идеальные (рис. 3.10, а). В данной главе рассматриваются только идеальные модели, которые объективны по своему содержанию (отражая реальную действительность), но субъ­ективны по форме и не могут существовать вне ее. Идеаль­ные модели существуют лишь в познании людей и функцио­нируют по законам логики. К логическим моделям относят­ся различные знаковые модели. Существенным моментом создания любой знаковой модели является процедура фор­мализации (формулы, алфавит, системы счислений).

В настоящее время в ряде областей науки и техники по­нятие модели трактуется не в духе классической физики, как наглядная, например, механическая система, а в духе современного этапа познания как абстрактная логико-мате­матическая структура.

В современном моделировании наряду с возрастанием в познании роли абстрактно-логических моделей существует другая тенденция, связанная с широким применением ки­бернетических функционально-информационных моделей.

Своеобразие кибернетического моделирования состоит в том, что объективное сходство модели и моделируемого объ­екта касается только их функций, областей применения, связи с внешней средой. Основа информационного подхода к изучению кибернетических процессов - абстрагирование.

Рассмотрим модели, которые имеют место в САПР БИС: структурные, функциональные, геометрические, знаковые, мысленные, аналитические, численные и имитационные.

Структурные модели воспроизводят состав элементов объекта или системы, их расположение в пространстве и взаимосвязи, т. е. структуру системы. Структурные модели могут быть и вещественными (макеты), и идеальными (на- | пример, машиностроительные чертежи, топология печатной | платы и топология ИС).

Функциональные модели имитируют только способ пове­дения оригинала, его функциональную зависимость от внешней среды. Наиболее характерным примером служат модели, построенные на концепции «черного ящика».

В этих моделях удается воспроизвести функционирование £ оригинала, полностью отвлекаясь от его содержимого и структуры, связывая с помощью математического соотношения различные входные и выходные величины.

Рис. 3.10. Общая классификация моделей (а), а также моделей натурных (б), физических (в), вещественных математических (г), наглядных (д), знаковых (е), идеальных математических (ж)

Геометрические модели отражают только структуру объ­екта и имеют большое значение в связи с проектированием электронных систем. Эти модели, построенные на основе геометрического подобия, позволяют решать задачи, связан­ные с оптимальным размещением объектов, прокладкой трасс на печатных платах и интегральных схемах.

Знаковые модели представляют собой упорядоченную за­пись символов (знаков). Знаки взаимодействуют между со­бой не по физическим законам, а по правилам, установлен­ным в той или иной области знаний, или, как принято гово­рить, согласно природе знаков. Знаковые модели имеют в настоящее время чрезвычайно широкое распространение. Практически каждая область знаний - лингвистика, про­граммирование, электроника и многие другие - выработала свою символику для описания моделей. Таковыми являются программы, схемы и т. п.

Мысленные модели являются продуктом чувственного восприятия и деятельности абстрактного мышления. К мысленным моделям можно отнести известную планетар­ную модель атома Бора. Для передачи этих моделей их пред­ставляют в виде словесного или знакового описания, т. е. мысленные модели могут фиксироваться в виде различных знаковых систем.

Аналитические модели позволяют получить явные зави­симости необходимых величин от параметров и перемен­ных, характеризующих изучаемое явление. Аналитическое решение математического соотношения является обобщен­ным описанием объекта

Численные модели характеризуются тем, что значения необходимых величин можно получить в результате приме­нения соответствующих численных методов. Все численные методы позволяют получить только частную информацию относительно искомых величин, поскольку для своей реали­зации требуют задания конкретных значений всех парамет­ров, входящих в математическое соотношение. Для каждой искомой величины приходится по-своему преобразовывать математическую модель и применять соответствующую чис­ленную процедуру.

Имитационные модели реализуются на ЭВМ в виде мо­делирующих алгоритмов (программ), позволяющих вычис­лять значения выходных переменных и определять новое состояние, в которое переходит модель при заданных значе­ниях входных переменных, параметров и исходного состоя­ния модели. Имитационное моделирование в отличие от численного характеризуется независимостью моделирую­щего алгоритма от типа информации, которую необходимо получить в результате моделирования. Достаточно универ­сальной, гибкой и эффективной является математическая модель, которая представляется в абстрактной математиче­ской форме посредством переменных, параметров, уравне­ний и неравенств.

В ММ входят следующие элементы: переменные (зависи­мые и независимые); константы или фиксированные пара­метры (определяющие степень связи переменных между со­бой); математические выражения (уравнения или/и нера­венства, объединяющие между собой переменные и параметры); логические выражения (определяющие различ­ные ограничения в математической модели); информация (алфавитно-цифровая и графическая).

Математические модели классифицируют по следующим критериям: 1) поведению моделей во времени; 2) видам входной информации, параметров и выражений, составляю­щих математическую модель; 3) структуре математической модели; 4) типу используемого математического аппарата.

Применительно к интегральным схемам можно предло­жить следующую классификацию.

В зависимости от характера свойств интегральной схемы математические модели делятся на функциональные и струк­турные.

Функциональные модели отображают процессы функци­онирования объекта, эти модели имеют форму систем урав­нений.

При решении ряда задач проектирования широкое при­менение находят математические модели, отображающие только структурные свойства проектируемого объекта; та­кие структурные модели могут иметь форму матриц, гра­фов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве, наличие непосредственной связи в виде проводников и т. д. Структурные модели используют в том случае, когда задачи структурного синтеза удается формализовать и решать, абстрагируясь от особенности фи­зических процессов в объекте.

Рис. 3.11. Структурная модель инвертора = ит. д.)

По методу получения функциональные математические модели делятся на теоретические и формальные.

Теоретические модели получаются на основе изучения физических закономерностей, причем структура уравнений и параметры моделей имеют четкое физическое обоснование.

Формальные модели получаются при рассмотрении свойств реального объекта как черного ящика.

Теоретический подход позволяет получать более универ­сальные модели справедливые для различных режимов ра­боты и для широких диапазонов изменения внешних пара­метров.

Ряд признаков в классификации связан с особенностями уравнений, составляющих математическую модель; в зави­симости от линейности или нелинейности уравнений модели делят на линейные и нелинейные.

В зависимости от мощности множества значений пере­менных модели делят на непрерывные и дискретные (рис. 3.12).

В непрерывных моделях фигурирующая в них перемен­ная непрерывна или кусочно-непрерывна.

Переменные в дискретных моделях - дискретные вели­чины, множество которых счетно.

Рис. 3.12. Непрерывные и дискретные переменные

По форме связи между выходными, внутренними и внешними параметрами различают модели в виде систем уравнений и модели в виде явной зависимости выходных па­раметров от внутренних и внешних. Первые из них называ­ются алгоритмическими, а вторые - аналитическими.

В зависимости от того, учитывают ли уравнения модели инерционность процессов в объекте проектирования, разли­чают модели динамические и статические.

Непосредственно из структуры принятого определения вытекают ряд общих свойств моделей, которые обычно принимаются во внимание в практике моделирования.

• 1. Модель представляет собой «четырехместную конструкцию», компонентами которой являются:
  • - субъект;
  • - задача, решаемая субъектом;
  • - объект-оригинал и язык описания или способ воспроизведения модели.

Особую роль в структуре обобщенной модели играет решаемая субъектом задача. Вне контекста задачи или класса задач понятие модели не имеет смысла.

• 2. Каждому материальному объекту, вообще говоря, соответствует бесчисленное множество в равной мере адекватных, но различных по существу моделей, связанных с разными задачами.
• 3. Паре задача-объект тоже соответствует множество моделей, содержащих в принципе одну и ту же информацию, но различающихся формами ее представления или воспроизведения.
• 4. Модель по определению всегда является лишь относительным, приближенным подобием объекта-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последнего. Это ее фундаментальное свойство.
• 5. Произвольная природа объекта-оригинала, фигурирующая в принятом определении, означает, что этот объект может быть материально-вещественным, может носить чисто информационный характер и, наконец, может представлять собой комплекс разнородных материальных и информационных компонентов. Однако независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.
• 6. Частным, но весьма важным для развитых в теоретическом отношении научных и технических дисциплин является случай, когда роль объекта-моделирования в исследовательской или прикладной задаче играет не фрагмент реального мира, рассматриваемый непосредственно, а некий идеальный конструкт, т. е., по сути дела другая модель, созданная ранее и практически достоверная. Подобное вторичное, а в общем случае n-кратное моделирование может осуществляться теоретическими методами с последующей проверкой получаемых результатов по экспериментальным данным, что характерно для фундаментальных естественных наук.

В менее развитых в теоретическом отношении областях знания (биология, некоторые технические дисциплины) вторичная модель обычно включает в себя эмпирическую информацию, которую не охватывают существующие теории.

Свойства любой модели таковы:

• - конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
• - упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;
• - приблизительность: действительность отображается моделью грубо или приблизительно;
• - адекватность: модель успешно описывает моделируемую систему;
• - информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.

Классификация математических моделей. При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей. В этой связи различают математические модели элементов и систем. При переходе к более высокому иерархическому уровню блочного структурирования система низшего уровня становится элементом системы нового уровня, и наоборот, при переходе к низшему уровню элемент становится системой. Следовательно, на низших уровнях используют наиболее сложные математические модели.

На высших уровнях могут быть с успехом применены более простые модели. Их можно получить путем аппроксимации моделей низших иерархических уровней.

В общем случае уравнения математической модели связывают физические величины, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к перечисленным выше выходным, внутренним и внешним параметрам. Такими величинами являются: скорости и силы - в механических системах. Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами).

Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью.

Точность оценивается степенью совпадения предсказанных в процессе вычислительного эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными их значениями. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.

Классификация математических моделей, используемых при проектировании технических систем, приведена на рисунке.

Рисунок 1. - Классификация математических моделей:

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических), вне связи с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма последовательности вычислений.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров).

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т. п.

Среди алгоритмических, моделей выделяют имитационные модели, предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих и объекте при функционировании его под воздействием различных факторов внешней среды.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей называются морфологическими переменными.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства и объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза.

По способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический черный ящик. Эксперименты при о том могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.

Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным.

Если при моделировании учитываются инерционные свойства технического объекта и (или) изменение во времени параметров объекта или внешней среды, то модель называют динамической. В противном случае модель статическая.

Большинство проектных процедур выполняется на детерминированных моделях. Детерминированная математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие. В вычислительном эксперименте при проектировании обычно задают некоторые стандартные типовые воздействия на объект: ступенчатыми, импульсными, гармоническими, кусочно-линейными, экспоненциальными и др.

Их называют тестовыми воздействиями.

ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель .

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект -заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Моделирование широко используется в различных сферах человеческой деятельности, особенно в сферах проектирования и управления, где особенными являются процессы принятия эффективных решений на основе получаемой информации.

Модель всегда строится с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие - нет. Модель представляет собой как бы проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда, в зависимости от целей, можно получить ряд проекций объективной реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества несущественного.

Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

Все модели можно разделить на два класса:

1. вещественные,
2. идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

1. натурные,
2. физические,
3. математические.

Идеальные модели можно разделить на:

1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели .

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит , языки программирования, упорядоченная запись , топологическая запись , сетевое представление .

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования - математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью , более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи .

Представь себе самолет: крылья, фюзеляж, хвостовое оперение, все это вместе - настоящий огромный, необъятный, целый самолет. А можно сделать модель самолета, маленькую, но все как взаправду, те же крылья и т.д., но компактный. Так же и математическая модель. Есть текстовая задача, громоздкая, на нее можно так посмотреть, прочесть, но не совсем понять, и уж тем более не ясно как решать ее. А что если сделать из большой словесной задачи ее маленькую модель, математическую модель? Что значит математическую? Значит, используя правила и законы математической записи, переделать текст в логически верное представление при помощи цифр и арифметических знаков. Итак, математическая модель - это представление реальной ситуации с помощью математического языка.

Начнем с простого: Число больше числа на. Нам нужно записать это, не используя слов, а только язык математики. Если больше на, то получается, что если мы из вычтем, то останется та самая разность этих чисел равная. Т.е. или. Суть понял?

Теперь посложнее, сейчас будет текст, который ты должен попробовать представить в виде математической модели, пока не читай, как это сделаю я, попробуй сам! Есть четыре числа: , и. Произведение и больше произведения и в два раза.

Что получилось?

В виде математической модели выглядеть это будет так:

Т.е. произведение относится к как два к одному, но это можно еще упросить:

Ну ладно, на простых примерах ты понял суть, я так полагаю. Переходим к полноценным задачам, в которых эти математические модели еще и решать нужно! Вот задача.

Математическая модель на практике

Задача 1

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле, где — расстояние в метрах, — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с? Ответ выразите в метрах.

О, ужас! Какие формулы, что за колодец, что происходит, что делать? Я прочел твои мысли? Расслабься, в задачах этого типа условия бывают и пострашнее, главное помнить, что тебя в этой задаче интересуют формулы и отношения между переменными, а что все это обозначает в большинстве случаев не очень важно. Что ты тут видишь полезного? Я лично вижу. Принцип решения этих задач следующий: берешь все известные величины и подставляешь. НО, задумываться иногда надо!

Последовав моему первому совету, и,подставив все известные в уравнение, получим:

Это я подставил время секунды, и нашел высоту, которую пролетал камень до дождя. А теперь надо посчитать после дождя и найти разницу!

Теперь прислушайся ко второму совету и задумайся, в вопросе уточняется, «на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с». Сразу надо прикинуть, тааак, после дождя уровень воды повышается, значит, время падения камня до уровня воды меньше и тут витиеватая фраза «чтобы измеряемое время изменилось» приобретает конкретный смысл: время падения не увеличивается, а сокращается на указанные секунды. Это означает, что в случае броска после дождя, нам просто нужно из начального времени c вычесть с, и получим уравнение высоты, которую камень пролетит после дождя:

Ну и наконец, чтобы найти, на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с., нужно просто вычесть из первой высоты падения вторую!

Получим ответ: на метра.

Как видишь, ничего сложного нет, главное, особо не заморачивайся, откуда такое непонятное и порой сложное уравнение в условиях взялось и что все в нем означает, поверь на слово, большинство этих уравнений взяты из физики, а там дебри похлеще, чем в алгебре. Мне иногда кажется, что эти задачи придуманы, чтоб запугать ученика на ЕГЭ обилием сложных формул и терминов, а в большинстве случаев не требуют почти никаких знаний. Просто внимательно читай условие и подставляй известные величины в формулу!

Вот еще задача, уже не по физике, а из мира экономической теории, хотя знаний наук кроме математики тут опять не требуется.

Задача 2

Зависимость объёма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены (тыс. руб.) задаётся формулой

Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле. Определите наибольшую цену, при которой месячная выручка составит не менее тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Угадай, что сейчас сделаю? Ага, начну подставлять то, что нам известно, но, опять же, немного подумать все же придется. Пойдем с конца, нам нужно найти при котором. Так, есть, равно какому-то, находим, чему еще равно это, а равно оно, так и запишем. Как ты видишь, я особо не заморачиваюсь о смысле всех этих величин, просто смотрю из условий, что чему равно, так тебе поступать и нужно. Вернемся к задаче, у тебя уже есть, но как ты помнишь из одного уравнения с двумя переменными ни одну из них не найти, что же делать? Ага, у нас еще в условии осталась неиспользованная частичка. Вот, уже два уравнения и две переменных, значит, теперь обе переменные можно найти - отлично!

Такую систему решить сможешь?

Решаем подстановкой, у нас уже выражена, значит, подставим ее в первое уравнение и упростим.

Получается вот такое квадратное уравнение: , решаем, корни вот такие, . В задании требуется найти наибольшую цену, при которой будут соблюдаться все те условия, которые мы учли, когда систему составляли. О, оказывается это было ценой. Прикольно, значит, мы нашли цены: и. Наибольшую цену, говорите? Окей, наибольшая из них, очевидно, ее в ответ и пишем. Ну как, сложно? Думаю, нет, и вникать не надо особо!

А вот тебе и устрашающая физика, а точнее еще одна задачка:

Задача 3

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому, где — мощность излучения звезды, — постоянная, — площадь поверхности звезды, а — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна, а мощность её излучения равна Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

Откуда и понятно? Да, в условии написано, что чему равно. Раньше я рекомендовал все неизвестные сразу подставлять, но здесь лучше сначала выразить неизвестное искомое. Смотри как все просто: есть формула и в ней известны, и (это греческая буква «сигма». Вообще, физики любят греческие буквы, привыкай). А неизвестна температура. Давай выразим ее в виде формулы. Как это делать, надеюсь, знаешь? Такие задания на ГИА в 9 классе обычно дают:

Теперь осталось подставить числа вместо букв в правой части и упростить:

Вот и ответ: градусов Кельвина! А какая страшная была задача, а!

Продолжаем мучить задачки по физике.

Задача 4

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону, где — высота в метрах, — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?

То были всё уравнения, а вот здесь надо определить, сколько мяч находился на высоте не менее трех метров, это значит на высоте. Что мы составлять будем? Неравенство, именно! У нас есть функция, которая описывает как летит мяч, где - это как раз та самая высота в метрах, нам нужна высота. Значит

А теперь просто решаешь неравенство, главное, не забудь поменять знак неравенства с больше либо равно на меньше, либо равно, когда будешь умножать на обе части неравенства, чтоб перед от минуса избавиться.

Вот такие корни, строим интервалы для неравенства:

Нас интересует промежуток, где знак минус, поскольку неравенство принимает там отрицательные значения, это от до оба включительно. А теперь включаем мозг и тщательно думаем: для неравенства мы применяли уравнение, описывающее полет мяча, он так или иначе летит по параболе, т.е. он взлетает, достигает пика и падает, как понять, сколько времени он будет находиться на высоте не менее метров? Мы нашли 2 переломные точки, т.е. момент, когда он взмывает выше метров и момент, когда он, падая, достигает этой же отметки, эти две точки выражены у нас в виде времени, т.е. мы знаем на какой секунде полета он вошел в интересующую нас зону (выше метров) и в какую вышел из нее (упал ниже отметки в метра). Сколько секунд он находился в этой зоне? Логично, что мы берем время выхода из зоны и вычитаем из него время вхождения в эту зону. Соответственно: - столько он находился в зоне выше метров, это и есть ответ.

Так уж тебе повезло, что больше всего примеров по этой теме можно взять из разряда задачек по физике, так что лови еще одну, она заключительная, так что поднапрягись, осталось совсем чуть-чуть!

Задача 5

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы:

Где — время в минутах, . Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Действуем по отлаженной схеме, все, что дано, сперва выписываем:

Теперь берем формулу и приравниваем ее к значению температуры, до которой максимально можно нагреть прибор пока он не сгорит, то есть:

Теперь подставляем вместо букв числа там, где они известны:

Как видишь, температура при работе прибора описывается квадратным уравнением, а значит, распределяется по параболе, т.е. прибор нагревается до какой-то температуры, а потом остывает. Мы получили ответы и, следовательно, при и при минутах нагревания температура равна критической, но между и минутами - она еще выше предельной!

А значит, отключить прибор нужно через минуты.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Чаще всего математические модели используются в физике: тебе ведь наверняка приходилось запоминать десятки физических формул. А формула - это и есть математическое представление ситуации.

В ОГЭ и ЕГЭ есть задачи как раз на эту тему. В ЕГЭ (профильном) это задача номер 11 (бывшая B12). В ОГЭ - задача номер 20.

Схема решения очевидна:

1) Из текста условия необходимо «вычленить» полезную информацию - то, что в задачах по физике мы пишем под словом «Дано». Этой полезной информацией являются:

• Формула
• Известные физические величины.

То есть каждой букве из формулы нужно поставить в соответствие определенное число.

2) Берешь все известные величины и подставляешь в формулу. Неизвестная величина так и остается в виде буквы. Теперь нужно только решить уравнение (обычно, довольно простое), и ответ готов.

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений...