ДИНАМИКА
Электронный учебник по дисциплине: ”Теоретическая механика”
для студентов заочной формы обучения
Соответствует Федеральному образовательному стандарту
(третьего поколения)
Сидоров В.Н.,д.т.н.,профессор
Ярославский государственный технический университет
Ярославль, 2016
Введение …………………………………………………………………
Динамика…………………………………………………………………..
1.Введение в динамику. Основные положения …………………………
1.1.Основные понятия и определения ………………………………...
1.2.Законы Ньютона и задачи динамики ………………………………
1.3.Основные виды сил …………………................................................
Сила тяготения ……………………………………….. ………........
Сила тяжести ………………………………………………………..
Сила трения …………………………………………………………
Сила упругости ……………………………………………………..
1.4.Дифференциальные уравнения движения………………………..
Дифференциальные уравнения движения точки ………………..
Дифференциальные уравнения движения механической
системы …………………………………………………………….
2.Общие теоремы динамики ………………………. ……………………
2.1.Теорема о движении центра масс ……………….. ………………
2.2.Теорема об изменении количества движения ……………………
2.3.Теорема об изменении момента количества движения …… ……
Теорема моментов …………………………………………………
Кинетический момент твердого тела…………………………….
Осевой момент инерции твердого тела …………………………..
Теорема Гюйгенса – Штейнера – Эйлера ………………………..
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела …
2.4.Теорема об изменении кинетической энергии …………………..
Теорема об изменении кинетической энергии материальной
точки ……………………………………………………………….
Теорема об изменении кинетической энергии механической
системы ……………………………………………………………
Формулы для подсчета кинетической энергии твердого тела
в разных случаях движения ………………………………………
Примеры вычисления работы сил ……………………………….
2.5.Закон сохранения механической энергии ……………………….
Введение
«Кто не знаком с законами механики
тот не может познать природы»
Галилео Галилей
Значение механики, ее значительная роль в совершенствовании производства, повышении его эффективности, ускорении научно-технического процесса и внедрении научных разработок, росте производительности труда и улучшении качества выпускаемой продукции,к сожалению, понимается достаточно отчетливо не всеми руководителями министерств и ведомств, высших учебных заведений, равно как и то, что представляет механика наших дней /1/.Как правило, о ней судят по содержанию теоретической механики, изучаемой во всех высших технических учебных заведениях.
Студенты должны знать, насколько важна теоретическая механика, как одна из основополагающих инженерных дисциплин высшей школы,научная основа важнейших разделов современной техники, своеобразный мост, соединяющий математику и физику с прикладными науками, с будущей профессией. На занятиях по теоретической механике впервые студентам прививается системное мышление, умение ставить и решать практические задачи. Решать их до конца, до числового результата. Учиться анализировать решение, устанавливать границы его применимости и требование к точности исходных данных.
Не менее важно знать студентам, что теоретическая механика лишь вводная, хотя и совершенно необходимая, часть колоссального здания современной механики в широком понимании этой фундаментальной науки. Что она будет развиваться в других разделах механики: сопротивлении материалов, теории пластин и оболочек,теории колебаний, регулирования и устойчивости, кинематике и динамики машин и механизмов, механике жидкости и газа, химической механике.
Достижения всех разделов машиностроения и приборостроения, строительной индустрии и гидротехники, добычи и переработки руды, каменного угля, нефти и газа, железнодорожного и автомобильного транспорта, судостроения, авиации и космической техники опираются на глубокое понимание законов механики.
Учебное пособие предназначено для студентов машиностроительных, автомеханических специальностей заочной формы обучения в техническом университете по сокращенной программе курса.
Итак, несколько определений.
Теоретическая механика – это наука, изучающая общие законы механического движения и равновесия материальных объектов и возникающие при этом механические взаимодействия между материальными объектами.
Под механическим движением материального объекта понимают происходящее с течением времени изменение его положения по отношению к другим материальным объектам.
Под механическим взаимодействием подразумевают такие действия тел друг на друга, при которых изменяются движения этих тел, либо они сами деформируются (меняют свою форму).
Теоретическая механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики.
ДИНАМИКА
Введение в динамику. Основные положения
Основные понятия и определения
Сформулируем еще раз в несколько ином виде определение динамики как части механики.
Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных объектов, с учетом действующих на них сил .
Обычно изучение динамики начинают с изучения динамики материальной точки и затем переходят к изучению динамики механической системы .
В силу схожести формулировок многих теорем и законов этих разделов динамики, дабы избежать излишнего дублирования и сократить текстовый объем учебника, целесообразно излагать эти разделы динамики совместно.
Введем некоторые определения.
Инерция (закон инерции ) – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения в отсутствии действия на него со стороны других тел (т.е в отсутствии сил) .
Инертность - способность тел сопротивляться попыткам изменить с помощью сил их состояние покоя или равномерного прямолинейного движения .
Количественной мерой инерции служит масса (m). Эталоном массы является килограмм (кг).
Отсюда следует, что чем инертнее тело, чем больше его масса, тем меньше меняется его состояние покоя или равномерного движения под действием определенной силы, меньше меняется скорость тела, т.е. тело лучше сопротивляется воздействию силы. И наоборот, чем меньше масса тела, тем больше меняется его состояние покоя или равномерного движения, сильнее меняется скорость тела, т.е. тело хуже сопротивляется воздействию силы.
Законы и задачи динамики
Сформулируем законы динамики материальной точки. В теоретической механике они принимаются как аксиомы. Справедливость этих законов обусловлена тем, что на их базе строится все здание классической механики, законы которой выполняются с большой точностью. Нарушения законов классической механики наблюдаются только при больших скоростях (релятивистская механика) и в масштабах микромира (квантовая механика).
Основные виды сил
Прежде всего, введем разделение всех встречающихся в природе сил на активные и реактивные (реакции связей).
Активной называют такую силу, которая может привести в движение покоящееся тело .
Реакция связи возникает в результате действия активной силы на несвободное тело и препятствует перемещению тела . Собственно поэтому, являясь следствием, откликом, последействием активной силы.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в задачах механики силы.
Сила тяготения
Эта сила гравитационного притяжения между двумя телами, определяемая законом всемирного тяготения:
где - ускорение силы тяжести у поверхности Земли, численно равное g ≈ 9,8 м/с 2 , m – масса тела, или механической системы, определяемая как совокупная масса всех точек системы:
где - радиус-вектор k- ой точки системы. Координаты центра масс можно получить, спроецировав обе части равенства (3.6) на оси:
 | (7) |
Сила трения
В инженерных расчетах исходят из экспериментально установленных закономерностей, называемых законами сухого трения (в отсутствии смазки), или законами Кулона :
· При попытке сдвинуть одно тело вдоль поверхности другого возникает сила трения (сила трения покоя
), величина которой может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения . 
· Величина предельной силы трения , равна произведению некоторого безразмерного, экспериментально определяемого коэффициента трения f на силу нормального давления N , т.е.
| . | (8) |
· По достижению предельного значения силы трения покоя за исчерпанием сцепных свойств сопрягающихся поверхностей тело начинает перемещаться вдоль опорной поверхности, причем сила сопротивления движению практически постоянна и не зависит от скорости (разумных пределах). Эта сила называется силой трения скольжения и она равна предельному значению силы трения покоя.
· поверхности.
Приведем значения коэффициента трения для некоторых тел:
Табл. 1
Трение качения
Рис.1
При качении колеса без проскальзывания (рис. 1) реакция опоры несколько смещается вперед по ходу движения колеса. Причина этого – в несимметричности деформации материала колеса и опорной поверхности в зоне контакта. Под действием силы давление у края В зоны контакта возрастает, а у края А убывает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону движения колеса на величину k , называемой коэффициентом трения качения . На колесо действует пара сил и с моментом сопротивления качению, направленным против вращения колеса:
В условиях равновесия при равномерном качении моменты пар сил , и , уравновешивают друг друга: , откуда вытекает оценка значения силы, направленной против движения тела: 
. (10)
Отношение для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения f. Этим и объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением.
Сила упругости
Эта сила, с которой деформированное тело стремится вернуться в свое исходное, недеформированное состояние. Если, например, растянуть пружину на величину λ , то сила упругости и ее модуль равны, соответственно:
| . | (11) |
Знак минус в векторном соотношении показывает, что сила направлена в противоположную сторону от перемещения . Величина с носит название «жесткость » и имеет размерность Н/м.
Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнений движения точки
Вернемся к выражению основного закона динамики точки в виде (3.2), записав его в виде векторных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков (нижний индекс будет соответствовать номеру силы):
 | (17) |
 | (18) |
Сравним, например, системы уравнений (15) и (17). Легко увидеть, что в описание движения точки в координатных осях сводится к 3-м дифференциальным уравнениям 2-го порядка, или (после преобразования), к 6-и уравнениям 1-го порядка. В тоже время описание движения точки в естественных осях связано со смешанной системой уравнений, состоящей из одного дифференциального уравнения 1-го порядка (относительно скорости ) и двух алгебраических.
Отсюда можно сделать вывод, что при анализе движения материальной точки иногда проще решать первую и вторую задачи динамики, формулируя уравнения движения в естественных осях .
К первой или прямой задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по заданным уравнениям движения точки, ее массе необходимо найти силу (или силы) действующие на нее.
Ко второй или обратной задаче динамики материальной точки относятся задачи в которых по ее массе, силе (или силам), действующей на нее и известным кинематическим начальным условиям требуется определить уравнения ее движения.
Необходимо отметить, что при решении 1-й задачи динамики дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические, решение системы которых является тривиальной задачей. При решении 2-ой задачи динамики для решения системы дифференциальных уравнений необходимо сформулировать задачу Коши, т.е. добавить к уравнениям т.н. «краевые» условия. В нашем случае – это условия, налагающие ограничения на положение и скорость в начальный (конечный) момент времени, или т.н. «
Поскольку по закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда парные (действуют на каждую из двух взаимодействующих точек), они равны, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки, то их сумма попарно равна нулю. Кроме того, сумма моментов этих двух сил относительно любой точки также равна нулю. Это означает, что сумма всех внутренних сил исумма моментов всех внутренних сил механической системы порознь равны нулю :
| , | (22) |
 .
| (23) |
Здесь, - соответственно главный вектор и главный момент внутренних сил, вычисленный относительно точки О.
Равенства (22) и (23) отражают свойства внутренних сил механической системы .
Пусть на некую k
–ю материальную точку механической системы действуют одновременно как внешние, так и внутренние силы. Поскольку они приложены к одной точки, их можно заменить равнодействующими соответственно внешних () и внутренних ()сил. Тогда основной закон динамики k
–й точки системы может быть записан, как 
, следовательно для всей системы будет:
 | (24) |
Формально число уравнений в (24) соответствует числу n точек механической системы.
Выражения (24) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме , если в них заменить вектора ускорений первой или второй производными от скорости и радиус-вектора соответственно: По аналогии с уравнениями движения одной точки (15) эти векторные уравнения можно преобразовать в систему из 3n дифференциальных уравнений 2-го порядка.
Общие теоремы динамики
Общими называются такие теоремы динамики материальной точки и механической системы, которые дают закономерности справедливые для любых случаев движения материальных обьектов в инерциальной системе отсчета.
Эти теоремы вообще говоря являются следствиями из решений системы дифференциальных уравнений, описывающей движения материальной точки и механической системы.
НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В данном параграфе установим общие закономерности движения невязкой жидкости. Для этого в потоке невязкой жидкости выделим элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, параллельными координатным осям (рис.4.4).
Рис. 4.4. Схема к выводу дифференциальных уравнений
движения невязкой жидкости
На массу жидкости в объеме параллелепипеда, равную действуют массовые силы, пропорциональные массе, и поверхностные силы давления окружающей жидкости, распределенные по граням параллелепипеда, перпендикулярные к ним и пропорциональные площадям соответствующих граней.
Обозначим через плотность распределения равнодействующей массовых сил и через , - ее проекции на соответствующие оси координат. Тогда проекция на направление ОХ массовых сил, действующих на выделенную массу жидкости, равна 
.
Обозначим через р - давление в произвольной точке с координатами x, y, z, являющейся одной из вершин параллелепипеда. Пусть это будет точка А на рис.4.4.
В силу сплошности жидкости и непрерывности функции давления р = f (x, y, z, t) в точке В с координатами (х + dx, y, z) давление будет равно с точностью до бесконечно малых второго порядка.
Разность давлений равна и будет одинаковой для любой пары выбранных на гранях точек с одинаковыми координатами у и z.
Проекция на ось ОХ результирующей силы давления равна . Запишем уравнение движения в направлении оси ОХ
или после деления на массу получим
. (4.15)
Аналогично получим уравнения движения в направлении осей OY и OZ. Тогда система дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости имеет вид
(4.16)
Эти дифференциальные уравнения были впервые получены Л. Эйлером в1755 г.
Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения, а смысл каждого из уравнений заключается в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления.
Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, а также для случая, когда наряду с силой тяжести действуют другие массовые силы при относительном движении жидкости. При этом в величины R x , R y и R z должны войти компоненты ускорения переносного (или поворотного) движения. Так как при выводе уравнений (4.6) не накладывались условия стационарности движения, то они справедливы и для неустановившегося движения.
Учитывая, что для неустановившегося движения компоненты (проекции) скорости V являются функциями времени, можно записать ускорение выделенной массы жидкости в развернутом виде:
Так как уравнения Эйлера (4.16) можно переписать в виде
. (4.18)
Для случая покоящейся жидкости 
уравнения (4.16) совпадают с дифференциальными уравнениями равновесия жидкости (2.5).
В задачах динамики жидкости массовые силы обычно считаются заданными (известными). Неизвестными являются функции давления
р = f (x,y,z,t), проекции скорости V x = f (x, y, z, t), Y y = f (x, y, z, t),
V z = f (x, y, z, t) и плотность r = f (x, y, z, t), т.е. всего пять неизвестных функций.
Для определения неизвестных переменных используется система уравнений Эйлера. Поскольку число неизвестных превышает число уравнений к системе Эйлера добавляют уравнение неразрывности и уравнение состояния среды.
Для несжимаемой жидкости уравнение состояния p = const и уравнение неразрывности
. (4.19)
Профессором Казанского университета И.С.Громекой в 1881 г. уравнения Эйлера были преобразованы и записаны в иной форме. Рассмотрим уравнения (4.18).
В первом из них вместо и подставим их выражения из (3. 13):
и 
. (4.20)
Приняв обозначение 
, можем записать
Аналогично преобразовав два остальных уравнения системы (4.7), получим систему уравнений в форме, данной Громекой
(4.23)
Если действующие на жидкость массовые силы обладают потенциалом, то проекции плотности распределения массовых сил R x , R y , R z представляются частными производными от потенциальной функции П:
DП = R x dx + R y dy + R z dz .(4.25)
Подставив значения R x , R y , R z в систему (4.8), получим систему дифференциальных уравнений движения несжимаемой жидкости под действием сил, имеющих потенциал:
(4.26)
При установившемся движении частные производные составляющих скорости по времени равны нулю:
. (4.27)
Тогда уравнения системы (4.10) примут вид
(4.28)
Умножив каждое из уравнений системы (4.11) на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные dx = V x dt; dy = V y dt;
dz = V z dt, и сложим уравнения. Будем иметь
Правую часть полученного выражения можно переписать в виде определителя, т.е.
(4.29)
Если определитель равен нулю, т.е.
(4.30)
. (4.31)
Это уравнение Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении невязкой жидкости.
Чтобы привести уравнение (4.14) к виду уравнения Бернулли, полученному в (4.1), определим вид потенциальной функции П для случая, когда действует только одна массовая сила - сила тяжести. В этом случае R x = R y = 0 и R z = - g (ось OZ направлена вверх). Из (4.9) имеем
или . (4.32)
Подставив это выражение П в (4.14), получим
или 
.
Последнее выражение полностью соответствует уравнению Бернулли (4.4).
Выясним, в каких случаях установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости справедливо уравнение Бернулли или, иначе говоря, в каких случаях определитель в правой части уравнения (4.13) обращается в нуль.
Известно, что определитель равен нулю, если две строки (или два столбца) равны или пропорциональны друг другу или если одна из его строк или один из столбцов равны нулю. Рассмотрим эти случаи последовательно.
А. Пропорциональны члены первой и третьей строк, т.е. уравнение Бернулли справедливо, если
.
Это условие выполняется на линиях тока (3.2).
Б. Пропорциональны члены первой и второй строк, т.е. уравнение Бернулли справедливо, если
.
Это условие выполняется на вихревых линиях (3.16).
В. Пропорциональны члены второй и третьей строк:
. (4.16)
Тогда ω x = a V x ; ω y = a V y ; ω z = a V z .
Свободные колебания материальной точки. Влияние постоянной силы на свободное колебание
Свободные колебания (или собственные колебания ) - это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинетической) при отсутствии внешних воздействий
Дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления:
Общее решение этого уравнения имеет вид , где
В случае, когда действующая на материальную точку позиционная сила стремиться вернуть ее в исходное положение, движение точки будет носить колебательный характер. Такую силу принято называть восстанавливающей.
Под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону, т.е. гармоническое колебательное движение.
Постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силы F, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения .
Движение материальной точки в условиях резонанса
В случае, когда , т.е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса.
Резонанс - это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Возникает, когда частота собственных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы
Размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать
Вынужденные колебания материальной точки при сопротивление пропорциональном скорости.
Вращательное движение
В этом случае . Тогда
– кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
Теоре́ма Кёнига
Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:
T=T0+Tr {\displaystyle {T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,}
Где T - {\displaystyle T} TTTTTTtTTTTtt полная кинетическая энергия системы, {\displaystyle T_{0}}T0 - кинетическая энергия движения центра масс, {\displaystyle T_{r}}Tr - относительная кинетическая энергия системы .
Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её сферическом движении относительно центра масс.
Более точная формулировка: полная кинетическая энергия всей системы равна сумме кинетической энергии всей массы системы, сосредоточенной в ее центре масс и движущейся со скоростью центра масс плюс кинетическая энергия той же системы в ее относительной системе относительно центра масс
Рисунок 1 - Свободное падение тела.
Так как груз малыми размерами то сопротивление воздуха достаточно мало и энергия на его преодоление мала и ею можно пренебречь. Скорость движения тела не высока и на малом расстоянии не достигает момента, когда она уравновешивается трением о воздух и ускорение прекращается.
В момент столкновения с землей кинетическая энергия максимальна. Так как тело обладает максимальной для него скоростью. А потенциальная энергия равна нулю, так как тело достигло поверхности земли и высота равна нулю. То есть что происходит, максимальная потенциальная энергия в верхней точке, по мере движения переходит в кинетическую, которая в свою очередь достигает максимума в нижней точке. Но сумма всех энергий в системе за время движения остается постоянной. Насколько уменьшилась потенциальная энергия, настолько увеличилась кинетическая.
Идеальные связи
При движении точки по поверхности или по кривой реакция связи может быть разложена на нормальную и касательную составляющие. Касательная составляющая реакции представляет собой силу трения. Чем более гладкой будет поверхность или кривая, тем меньше будет касательная составляющая реакции. Если поверхность или кривая абсолютно гладкие, то реакция нормальна к поверхности
Идеальными связями называются связи без трения, реакции которых не имеют касательных составляющих
Принцип освобождаемости от связей , согласно которому несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи и заменить их силами – реакциями связей.
Реакция связи Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствующая тем или иным его перемещениям, называется реакцией связи. Реакция связи направлена в сторону противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.
Жесткая заделка
Нахождение реакции жесткой заделки сводится к определению составляющих Х А
и Y A
препятствующих линейному перемещению балки в плоскости действия сил, и алгебраической величине момента m A
, препятствующего вращению балки под действием приложенных к ней сил. 
Рис.4
Решение. Эту задачу можно решить известными методами статики, составляя уравнения равновесия. Но при этом придется прежде отыскать усилия в стержнях. Принцип возможных перемещений позволяет найти силу F проще, с помощью общего уравнения статики.
Показываем активные силы и . Даем системе возможное перемещение, повернув стержень АО на угол (рис.66). Так как желоб совершит поступательное движение, то перемещения всех его точек будут одинаковы:
где a =AO=BD.
Составляем уравнение работ: . Угол .
Поэтому получим . Отсюда .
Общее уравнение динамики.
По принципу Даламбера материальную систему, движущуюся под действием некоторых сил, можно рассматривать находящейся в равновесии, если ко всем точкам системы приложить их силы инерции. Значит можно воспользоваться и принципом возможных перемещений.
В уравнение работ (1) добавится еще сумма работ сил инерции точек на их возможных перемещениях:
Или по принципу возможных скоростей (2):
Эти уравнения называют общим уравнением динамики . Оно позволяет решать большой класс задач на исследование движения довольно сложных материальных систем.
Уравнения (3) и (4) показывают, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю при условии, что на систему наложены идеальные и удерживающие связи.
Стоит подчеркнуть еще одно важное достоинство этого метода, общего уравнения динамики, – реакции связей (идеальных) исключаются при исследовании движения системы.
Иногда это уравнение можно использовать для исследования движения механических систем и в тех случаях, когда не все связи являются идеальными, например, когда имеются связи с трением. Для этого следует к активным силам добавить те составляющие реакций, которые обусловлены наличием сил трения.
Рис.11
Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.
Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.
Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,
Законы классической механики. Дифференциальное уравнение движения материальной точки.
Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.
Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению
ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),
где ΣX и ΣY – алгебраические суммы проекций сил, действующих на точку, на соответствующие координатные оси; x и y – текущие координаты точки.
С помощью полученных дифференциальных зависимостей решаются две основные задачи динамики:
- по заданному движению точки определяют действующие на нее силы;
- зная действующие на точку силы, определяют ее движение.
(Гидравлика)
Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости (уравнения Навье – Стокса)
Вязкой называют такую жидкость, которая при своем движении оказывает сопротивление сдвигающим усилиям. Все жидкости, существующие в природе, являются вязкими, и поэтому вязкую жидкость называют еще реальной жидкостью. Рассмотрим поверхностные силы, действующие в вязкой жидкости. В вязкой...(Гидравлика)
Уравнение неразрывности в переменных Эйлера в декартовой системе координат
Уравнение неразрывности (сплошности) выражает закон сохранения массы. Для вывода уравнения выделим в массе жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 4.18). Рис. 4.18. Элементарный параллелепипед Пусть точка т с координатами х, у , z находится в...(Гидравлика)
Вывод выражения для div E в декартовой системе координат.
Выделим в пространстве весьма малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Расположим ребра параллелепипеда параллельно осям декартовой системы (рис. 19.8, б). Для нахождения истока вектора Ё из данного объема составим разность потоков, выходящих из данного объема и входящих в него, и разделим...(ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ)
Проекция вектора скорости на оси координат
В векторной форме уравнения записываются легко и кратко. Но для практических вычислений нужно знать проекции вектора на оси координат выбранной системы отсчета. Положение точки А (рис. 2.8) задается радиус-вектором г. Спроецируем вектор г на оси х,у, z. Рис. 2.8. Вектор перемещения ...(ФИЗИКА. МЕХАНИКА)
Проекции мгновенного ускорения на оси координат.
Различные типы движения. 1) Равномерное прямолинейное движение - движение по прямой с постоянной скоростью (г;). Кинематические уравнения движения в этом случае могут быть офаничены одной координатой, совпадающей с прямой, вдоль которой осуществляется движение. Если эту координату принять...(ФИЗИКА)
Динамика изучает механическое движение материальных тел под действием приложенных сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как неизменяемую систему материальных точек. Расстояние между точками остаются постоянными.
Силы, действующие
на материальные тела, могут быть
постоянными или переменными. Постоянной
можно считать силу тяжести. Переменные
силы могут зависеть от времени, от
положения тела или от его скорости. В
частности, сила
упругости
зависит от положения груза, сила
сопротивления
зависит от скорости (рис. 1). От времени
зависит сила тяги электровоза при
постепенном включении реостата. На тело
одновременно может действовать несколько
разных сил. Так, при возвращении на землю
космического аппарата на него действуют:
постоянная сила тяжести, сила сопротивления,
зависящая от скорости, сила тяготения,
зависящая от положения тела. Законы
сложения или приведения переменных сил
такие же, как и постоянных сил.
Движение материальных объектов рассматривается по отношению к определенной системе отсчета. Систему отсчета, связанную с землей, называют инерциальной. В такой системе соблюдается основной закон динамики:
,
(1.1)
где m-масса точки,
-
ускорение точки.
Масса – это мера инертности. Она не зависит от природы силы, приложенной к точке. Чем больше масса, тем большую силу необходимо приложить к точке, чтобы изменить ее скорость.
Материальная точка является свободной, если на нее не наложены связи. Движение такой точки зависит от действующих на нее активных (заданных) сил и начальных условий. Если на точку наложены какие-либо связи, то ее движение зависит от активных сил и реакций связей.
Множество частных задач динамики можно свести к двум основным задачам:
по заданному движению материальной точки или системы определить силы, действующие на точку или систему – прямая задача динамики;
по заданным силам, действующим на точку или систему, определить закон движения этой системы – обратная задача.
2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
Для решения
соответствующей задачи динамики
необходимо составить уравнения,
устанавливающие зависимость между
массой движущей точки, ее ускорением и
действующими на нее ускорениями.
Дифференциальное уравнение движения
точки в векторной форме и имеет вид:
(2.1)
Уравнение (2.1) можно спроецировать на оси декартовой системы координат:
,
,
(2.2)
Если точка по криволинейной траектории, то для решения соответствующей задачи динамики используют дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме (в проекциях на естественные оси координат):
,
.
(2.3)
Решение первой задачи динамики.
При решении первой задачи динамики можно использовать дифференциальные уравнения движения точки в векторной, координатной и естественной форме. Решение задачи необходимо осуществлять в следующем порядке:
1. изобразить точку в текущий момент времени;
2. показать активные (заданные) силы, действующие на точку;
3. освободить точку от связей, заменяя действие связей реакциями;
4. выбрать систему координат, если она не указана в задаче;
5. составить дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат;
6. по заданным уравнениям движения определить проекции ускорения на оси координат;
7. из дифференциальных уравнений движения определить проекции силы, действующей на точку.
РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ДЛЯ СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПРИМЕР 1.
Материальная точка массой m движется по окружности радиуса R согласно уравнению OM=S=Re 2 t (рис. 2). Определить величину равнодействующей сил, приложенных к точке, как функцию времени.
РЕШЕНИЕ.
1. Так как точка
движется по криволинейной траектории,
используем дифференциальные уравнения
движения точки в проекциях на естественные
оси: касательную
и нормаль
:
,
.
(1)
2. Выразим из закона движения точки проекции ускорения на естественные оси
;
;
(2)
Рисунок 1
.
(3)Подставим (2) и (3) в (1), выразим проекции силы
на естественные оси:
;
.
Силу, действующую на точку, выразим через ее
проекции на естественные оси
РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПРИМЕР 2.
Определить давление
автомобиля весом Р=10000Н, движущегося с
постоянной скоростью
36км/ч
по мосту с радиусом кривизны
20м,
если автомобиль находится в центре
вогнутого (рис. 3,а) и выпуклого (рис. 3,б)
моста.
Рисунок 2
РЕШЕНИЕ .
1. Применим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на нормаль n:
,
(1)
где
-- сумма проекций на нормаль заданных
сил и реакций связей;
для схемы а):
;
Н;
для схемы б):
;
Н.
