Презентация систематизация арифметическая прогрессия и геометрическая. Арифметическая и геометрическая прогрессия

Определение арифметической и геометрической прогрессии. Формула n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

«Все познается в сравнении»

Найдите закономерности

Устная работа

Арифметическая прогрессия

1) 1, 3, 5, 7, 9, …

2) 5, 8, 11, 14, …

3) -1, -2, -3, -4, …

4) -2, -4, -6, -8, …

Геометрическая прогрессия

1) 1, 2, 4, 8, …

2) 5, 15, 45, 135, …

3) 1; 0,1; 0,001;0,0001;

4) 1, 2/3, 4/9, 8/27, …

d- разность

q-знаменатель

Определение

Арифметической Геометрической

прогрессией

называется п оследовательность,

отличных от нуля чисел

каждый член которой, начиная со второго,

равен предыдущему члену,

сложенному с одним

и тем же числом.

умноженному на одно

и то же число.

Определение

Числовая последовательность

а 1 ,а 2 ,а 3 ,…а n ,.. b 1 ,b 2 ,b 3 ,…b n ,…

называется

арифметической геометрической

если для всех натуральных n

выполняется равенство

a n+1 = a n + d b n+1 = b n * q

0 арифметическая прогрессия возрастающая d арифметическая прогрессия убывающая q 1 геометрическая прогрессия возрастающая 0 геометрическая прогрессия убывающая" width="640"

арифметическая прогрессия возрастающая

арифметическая прогрессия убывающая

геометрическая прогрессия возрастающая

геометрическая прогрессия убывающая

Формула n-го члена прогрессии

Пусть заданы а 1 и d

a 3 =a 2 +d=a 1 +d+d=а 1 +2d

a 4 =a 3 +d=а 1 +3d

…………………………… ..

a n =a 1 +(n-1)d

Пусть заданы b 1 и q

b 3 = b 2 *q= b 1 *q*q=b 1 *q 2

…………………………………………… .. b n = b 1 * q n-1

Чтобы задать

арифметическую геометрическую

прогрессию, достаточно указать её

первый член и первый член и

разность знаменатель

Составьте геометрическую прогрессию:

Ежедневно каждый болеющий гриппом

может заразить четырех окружающих.

1; 4; 16; 64;…

Дима на перемене съел булочку. Во время еды в
кишечник попало 30 дизентерийных палочек. Через
каждые 20 минут происходит деление бактерий (они
удваиваются).

30; 60; 120; 240;…

Каждый курильщик выкуривает в среднем

8 сигарет в сутки. После выкуривания одной

сигареты в легких оседает 0,0002 грамма

никотина и табачного дегтя. С каждой

последующей сигаретой это количество

увеличивается в два раза.

0,0002; 0,0004; 0,0008;…

Работа в тетрадях Задание 1.

Дано: (b n ) - геометрическая прогрессия

b 1 = 5 q = 3

Найти: b 3 ; b 5 .

Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1

b 3 =b 1 q 2 = 5 . 3 2 =5 . 9=45

b 5 =b 1 q 4 = 5 . 3 4 =5 . 81=405

Ответ: 45; 405.

Решение

Найдите

девятнадцатый член

арифметической

прогрессии, если

а 1 = 30 и d = – 2.

Найдите

восемнадцатый член

арифметической

прогрессии, если

а 1 = 7 и d = 4 .

Решение:

Воспользуемся

формулой n –го члена:

a n = а 1 +( n -1) d .

Получим:

а 18 =7 +(18 -1)∙ 4=

=7+17∙4=7+68=75

Ответ: а 18 =75.

Воспользуемся

формулой n –го члена:

a n = а 1 +( n -1) d .

Получим:

а 19 =30+(19-1)∙(- 2)=

= 30+18∙(-2)=30-36=-6

Ответ: а 19 = – 6.

Работа в тетрадях Задание 2.

Дано: (b n ) - геометрическая прогрессия

b 4 = 40 q = 2

Найти: b 1 .

Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1

b 4 =b 1 q 3 ; b 1 = b 4 : q 3 =40:2 3 =40 : 8=5

Ответ: 5.

Решение

Работа в тетрадях Задание 3.

Дано: (b n ) - геометрическая прогрессия

b 1 = -2, b 4 =-54.

Найти: q .

Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1

b 4 =b 1 q 3 ; -54=(-2) q 3 ; q 3 = -54:(-2)=27;

Ответ: 3.

Решение

Математику должны учить в школе

ещё с той целью, чтобы познания,

здесь приобретаемые были

достаточными для обыкновенных

потребностей жизни.

И.Л.Лобачевский

Биология

Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320.

5 инфузорий

Легкая промышленность

Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой

клетки на две части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было

6144 клетки

Физика

Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На пятые?

128; 64; 16

Экология

Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?

4 деления

Подготовка к ГИА

не является ни геометрической, ни арифметической прогрессией.

Укажите её.

В. 1; 4; 16;…

Подготовка к ГИА

Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что

одна из этих последовательностей

не является геометрической

прогрессией. Укажите её.

Б. -3; -9; -27;…

В. -3; 5; -7;…

Г. -3; ; -1;…

Подготовка к ГИА

Последовательности (a n), (b n), (c n)

заданы формулами n-го члена.

Поставьте в соответствие каждой

последовательности верное утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ

Последовательность –

арифметическая прогрессия

2) Последовательность –

геометрическая прогрессия

3) Последовательность не

является ни арифметической,

ни геометрической прогрессией

Придумайте или найдите задачи, позволяющие использовать геометрическую прогрессию; оформите их решение в тетрадь.

МАНГУСТ

Мангуст – пушистый зверёк, родина которого – Индия.

Длина тела ~ 50-60см. Даёт потомство 3 раза в год, в помёте в среднем по 4 детёныша.

1 пара=2 мангуста

через год

4 детёныша

1–й год – 2 мангуста
2-й год – 12 детёнышей

3-й год – 72 детёныша!!!

Сколько детёнышей мангустов появится на 10-й год?

в 10 = 20 155 392 детёныша

Слайд 1

Арифметическая и Геометрическая прогрессии
Проект ученика 9б класса Тесли Дмитрия

Слайд 2

Прогрессия
- числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d. Число d называется разностью прогрессии. - числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q. Число q называется знаменателем прогрессии.

Слайд 3

Прогрессия
Арифметическая Геометрическая
Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: an=a1+d(n–1) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется так: Sn=0,5(a1+an)n Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: bn=b1qn-1 Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется так: Sn=b1(qn-1)/q-1

Слайд 4

Арифметическая прогрессия
Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д. равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Слайд 5

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
- это геометрическая прогрессия, у которой |q|

Слайд 6

Арифметическая и геометрическая прогрессии, как оправдание войн
Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.

Слайд 7

Практическое применение геометрической прогрессии
Вероятно, первая ситуация, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией – подсчет численности стада, проведенный несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных ситуаций, количество новорожденных и умерших животных пропорционально числу всех животных. Значит, если за какой-то период времени количество овец у пастуха увеличилось с 10 голов до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастит вдвое и станет равным 40.

Слайд 8

Экология и промышленность
Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

Слайд 9

Биология
Бактерия за одну секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке за пять секунд? Первый член прогрессии – одна бактерия. По формуле найдем, что на вторую секунду мы будем иметь 3 бактерии, на третью - 9, на четвертую - 27, на пятую - 32. Таким образом можно рассчитать количество бактерий в пробирке в любой момент времени.

Слайд 10

Экономика
В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении сложных процентов. Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000 рублей? На следующий после вклада год мы будем иметь 1050 рублей, на третий год – 1102,5, на четвертый – 1157,625, на пятый – 1215,50625 рублей.

Презентацию "Арифметическая и геометрическая прогрессии" можно использовать как на уроке для объяснения нового материала, так и на уроках обобщения. В ней представлены: теоретический материал и формулы, сравнение арифметической и геометрической прогрессии, математический диктант, с проверкой ответов, задания разного уровня на знание формул и практического содержания, а так же самостоятельная работа. К каждым заданиям есть ответы и готовые решения и объяснения. К уроку прилагается конспект урока обобщения. Материал можно использовать при подготовке учащихся 9 классов к итоговой аттестации по математике.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Урок-презентация по математике в 9 классе по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Учитель 1 квалификационной категории Церетели Н.К.

Цели урока:

Дидактическая:

Систематизировать знания по изучаемой теме,

Применять теоретический материал при решении задач,

Формировать умение выбирать наиболее рациональные способы решения,

Развивающая:

Развивать логическое мышление,

Продолжить работу по развитию математической речи,

Воспитательная:

Формировать эстетические навыки при оформлении записей,

Формировать у учащихся самостоятельность мышления и интерес к изучению предмета.

Оборудование:

Компьютеры, проектор, презентация: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Ход урока:

Организационный момент: (слайд 2-5)

Число, классная работа, тема урока.

Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот в последний урок
Нас поведет
Красивый лозунг
“ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”

Цель нашего урока повторить и закрепить умения и навыки использования основных формул прогрессии при решении задач. Осмыслить и сравнить формулы арифметической и геометрической прогрессии.

Актуализация знаний учащихся: (слайд 6,7)

Что называется числовой последовательностью?

Что называется арифметической прогрессией?

Что называется геометрической прогрессией?

(два ученика записывают формулы на доске)

Сравните арифметическую и геометрическую прогрессии.

Математический диктант: (слайд 12-16)

Какая последовательность?

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…

2) 3; 9; 27; 81; 243;…

3) 1; 6; 11; 20; 25;…

4) –4; –8; –16; –32; …

5) 5; 25; 35; 45; 55;…

6) –2; –4; – 6; – 8; …

Истинно или ложно каждое высказывание?

1. В арифметической прогрессии

2,4; 2,6;… разность равна 2.

2. В геометрической прогрессии

0,3; 0,9;… третий член равен 2,7

3. 11-ый член арифметической прогрессии, у

Которой равен 0,2

4. Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии,

У которой b =1, q = -2 равна 11.

5. Последовательность чисел, кратных 5,

Является геометрической прогрессией.

6. Последовательность степеней числа 3

Является арифметической прогрессией.

Проверка ответов.

(один ученик зачитывает ответы, разбор по презентации)

Самостоятельная работа: (слайд 18-26)

1 уровень

(задания по коррекции знаний ученики решают за компьютером, затем проверяют ответы по готовым решениям)

1) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия

а 1 = 5 d = 3

Найти: а 6 ; а 10 .

2) Дано: (b n) геометрическая прогрессия

b 1 = 5 q = 3

Найти: b 3 ; b 5 .

3) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия

а 4 = 11 d = 2

Найти: а 1 .

4) Дано: (b n) геометрическая прогрессия

b 4 = 40 q = 2

Найти: b 1 .

5) Дано: (а n) арифметическая прогрессия

А 4 =12,5; а 6 =17,5

Найти: а 5

6) Дано: (b n) геометрическая прогрессия

B 4 =12,5; b 6 =17,5

Найти: b 5

2 уровень

(класс решает самостоятельную работу на 15 минут)

1)Дано: (а n ), а 1 = – 3, а 2 = 4. Найти: а 16 – ?

2)Дано: (b n ) , b 12 = – 32, b 13 = – 16. Найти: q – ?

3)Дано: (а n ), а 21 = – 44, а 22 = – 42.Найти: d - ?

4)Дано: (b n ) , b п > 0, b 2 = 4, b 4 = 9.Найти: b 3 – ?

5)Дано: (а n ), а 1 = 28, а 21 = 4. Найти: d - ?

6) Дано: (b n ) , q = 2. Найти: b 5 – ?

7) Дано: (а n ), а 7 = 16, а 9 = 30.Найти: а 8 –?

3 уровень

(задания по сборнику «Тематические тесты ГИА-9», под редакцией

Лысенко Ф.Ф.)

Проверка ответов

Решение заданий ГИА. (слайд 27)

(разбор задач на доске)

1) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

2) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (а п ), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число а п =-30,8?

3) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию.

4) В геометрической прогрессии b 12 = 3 15 и b 14 = 3 17 . Найдите b 1 .

Применение арифметической и геометрической прогрессии при решении текстовых задач. (слайд 28,29)

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы максимальная продолжительность была 1 час 45 минут.
Ребенок заболеет ветрянкой, если в его организме окажется не менее 27000 вирусов ветряной оспы. Если заранее не сделана прививка от ветрянки, то каждый день число попавших в организм вирусов утраивается. Если в течении 6 дней после попадания инфекции болезнь не наступает, организм начинает вырабатывать антитела, прекращающие размножение вирусов. Какое минимальное количество вирусов должно попасть в организм, чтобы ребенок, которому не сделали прививку, заболел.

Итог урока:

Анализ и оценка успешности достижения целей урока.

Анализ адекватности самооценки.

Выставление оценок.

Намечается перспектива последующей работы.

Домашнее задание: (слайд 31)

сборник №1247,1253,1313,1324

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни

Приведут.

1 слайд

Закончился ХХ век, а вот термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед”. Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. Но есть гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом полвека назад, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая, которую мы приводим в вольной передаче.

2 слайд

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 6; 11; 20; 25;… 4) –4; –8; –16; –32; … 5) 5; 25; 35; 45; 55;… 6) –2; –4; – 6; – 8; … арифметическая прогрессия d = 3 арифметическая прогрессия d = – 2 геометрическая прогрессия q = 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия q = 2 последовательность чисел

3 слайд

4 слайд

Изучена данная тема, Пройдена теории схема, Вы много новых формул узнали, Задачи с прогрессией решали. И вот в последний урок Нас поведет Красивый лозунг “ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”

5 слайд

Решение: Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда: а1–Доля первого – x, а2–Доля второго – x+y, а3–Доля третьего – x+2y, а4–Доля четвертого – x+3y, а5–Доля пятого – x+4у. На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:

6 слайд

Задача 1: (задача из папируса Ринда) Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

7 слайд

8 слайд

9 слайд

Урок сегодня завершён, Дружней вас не сыскать. Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут.

10 слайд

11 слайд

Ответы: 6.1 (20,4) (И) 6.2. (является), 6.5. (6;8,2;10’4;12’6;14’8;17.), 6.8. (b1=34 или b1= –34).

12 слайд

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые оцениваются в 2 балла: 6.1. 1) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. 6.2. 1) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (ап), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число –30,8? 6.5. 1) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию. 6.8. 1) В геометрической прогрессии b12 = З15 и b14 = З17. Найдите b1.

13 слайд

Ответы: 1) 102; (П) 2) 0,5; (В) 3) 2; (Р) 4) 6; (Г) 5) – 1,2; (Е) 6) 8; (С)

14 слайд

«Карусель» - обучающая самостоятельная работа 1)Дано: (а n), а1 = – 3, а2 = 4. Найти: а16 – ? 2)Дано: (b n) , b 12 = – 32, b 13 = – 16.Найти: q – ? 3)Дано: (а n), а21 = – 44, а22 = – 42. Найти: d - ? 4)Дано: (b n) , bп > 0, b2 = 4, b4 = 9. Найти: b3 – ? 5)Дано: (а n), а1 = 28, а21 = 4. Найти: d - ? 6) Дано: (b n) , q = 2. Найти: b5 – ? 7) Дано: (а n), а7 = 16, а9 = 30. Найти: а8 –? 1) (П) ;2) (В) ;3) (Р); 4) (Г); 5) (Е); 6) (С).

15 слайд

Свойства геометрической прогрессии Дано: (b n) геометрическая прогрессия, b n >0 b4=6; b6=24 Найти: b5 Решение: используя свойство геометрической прогрессии имеем: Ответ: 12(Д) Решение

16 слайд

Свойства арифметической прогрессии Дано: (а n) арифметическая прогрессия а4=12,5; а6=17,5 Найти: а5 Решение: используя свойство арифметической прогрессии имеем: Ответ: 15(О) Решение

17 слайд

Нетрудно видеть, что получился магический квадрат, константа C которого равна 3a+12d. Действительно, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d. Пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные числа. Расположим её члены в таблицу.

18 слайд

Занимательное свойство арифметической прогрессии. А теперь, рассмотрим еще одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. Нам дана “стайка девяти чисел” 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19. Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33