Важным понятием в математике является функция. С её помощью можно наглядно представить многие процессы, происходящие в природе, отразить с использованием формул, таблиц и изображений на графике взаимосвязь между определёнными величинами. Примером может служить зависимость давления слоя жидкости на тело от глубины погружения, ускорения - от действия на объект определённой силы, увеличения температуры - от передаваемой энергии и многие другие процессы. Исследование функции предполагает построение графика, выяснение её свойств, области определения и значений, промежутков возрастания и убывания. Важным моментом в данном процессе является нахождение точек экстремума. О том, как правильно это делать, и пойдёт разговор далее.
О самом понятии на конкретном примере
В медицине построение графика функции может рассказать о ходе развития болезни в организме пациента, наглядно отражая его состояние. Предположим, по оси ОХ откладывается время в сутках, а по оси ОУ - температура тела человека. На рисунке хорошо видно, как этот показатель резко поднимается, а потом падает. Нетрудно заметить также особые точки, отражающие моменты, когда функция, ранее возрастая, начинает убывать, и наоборот. Это точки экстремума, то есть критические значения (максимальные и минимальные) в данном случае температуры больного, после которых наступают изменения в его состоянии.
Угол наклона
Легко можно определить по рисунку, как изменяется производная функции. Если прямые линии графика с течением времени идут вверх, то она положительна. И чем они круче, тем большее значение принимает производная, так как растет угол наклона. В периоды убывания эта величина принимает отрицательные значения, в точках экстремума обращаясь в ноль, а график производной в последнем случае рисуется параллельно оси ОХ.
Любой другой процесс следует рассматривать аналогичным образом. Но лучше всего об этом понятии может рассказать перемещение различных тел, наглядно показанное на графиках.
Движение
Предположим, некоторый объект движется по прямой, равномерно набирая скорость. В этот период изменение координаты тела графически представляет собой некую кривую, которую математик назвал бы ветвью параболы. При этом функция постоянно возрастает, так как показатели координаты с каждой секундой изменяются всё быстрей. График скорости демонстрирует поведение производной, значение которой также увеличивается. А значит, движение не имеет критических точек.
Так бы и продолжалось бесконечно долго. Но если тело вдруг решит затормозить, остановиться и начать двигаться в другом направлении? В данном случае показатели координаты начнут уменьшаться. А функция перейдёт критическое значение и из возрастающей превратится в убывающую.
На этом примере снова можно понять, что точки экстремума на графике функции появляются в моменты, когда она перестаёт быть монотонной.
Физический смысл производной
Описанное ранее наглядно показало, что производная по сути является скоростью изменения функции. В данном уточнении и заключён её физический смысл. Точки экстремума - это критические области на графике. Их возможно выяснить и обнаружить, вычислив значение производной, которая оказывается равной нулю.
Существует и другой признак, который является достаточным условием экстремума. Производная в таких местах перегиба меняет свой знак: с «+» на «-» в области максимума и с «-» на «+» в районе минимума.
Движение под влиянием силы притяжения
Представим ещё одну ситуацию. Дети, играя в мяч, бросили его таким образом, что он начал двигаться под углом к горизонту. В начальный момент скорость данного объекта являлась самой большой, но под действием силы тяжести начала уменьшаться, причём с каждой секундой на одну и ту же величину, равную приблизительно 9,8 м/с 2 . Это значение ускорения, возникающего под влиянием земной гравитации при свободном падении. На Луне оно бы было примерно в шесть раз меньше.
Графиком, описывающим перемещение тела, является парабола с ветвями, направленными вниз. Как найти точки экстремума? В данном случае это вершина функции, где скорость тела (мяча) принимает нулевое значение. Производная функции становится равной нулю. При этом направление, а следовательно, и значение скорости, меняется на противоположное. Тело летит вниз с каждой секундой всё быстрее, причём ускоряется на ту же величину - 9,8 м/с 2 .
Вторая производная
В предыдущем случае график модуля скорости рисуется как прямая. Данная линия оказывается сначала направлена вниз, так как значение этой величины постоянно убывает. Достигнув нуля в один из моментов времени, далее показатели этой величины начинают возрастать, а направление графического изображения модуля скорости кардинально меняется. Теперь линия направлена вверх.
Скорость, являясь производной от координаты по времени, тоже имеет критическую точку. В этой области функция, вначале убывая, начинает возрастать. Это место точки экстремума производной функции. В данном случае угол наклона касательной становится равным нулю. А ускорение, являясь второй производной от координаты по времени, меняет знак с «-» на «+». И движение из равнозамедленного становится равноускоренным.
График ускорения
Теперь рассмотрим четыре рисунка. На каждом из них отображён график изменения с течением времени такой физической величины, как ускорение. В случае «А» значение его остаётся положительным и постоянным. Это означает, что скорость тела, как и его координата, постоянно увеличивается. Если представить, что объект будет двигаться таким образом бесконечно долго, функция, отражающая зависимость координаты от времени, окажется постоянно возрастающей. Из этого следует, что она не имеет критических областей. Точки экстремума на графике производной, то есть линейно изменяющейся скорости, также отсутствуют.
То же касается и случая «Б» с положительным и постоянно увеличивающимся ускорением. Правда, графики для координаты и скорости здесь будут несколько сложнее.
Когда ускорение стремится к нулю
Рассматривая рисунок «В», можно наблюдать совсем другую картину, характеризующую движение тела. Скорость его графически будет изображаться параболой с ветвями, направленными вниз. Если продолжить линию, описывающую изменение ускорения до пересечения её с осью ОХ, и дальше, то можно представить, что до этого критического значения, где ускорение окажется равным нулю, скорость объекта будет увеличиваться всё медленнее. Точка экстремума производной от функции координаты окажется как раз в вершине параболы, после чего тело кардинально поменяет характер движения и начнёт двигаться в другом направлении.
В последнем случае, «Г», характер движения точно определить невозможно. Здесь известно только, что ускорение за некоторый рассматриваемый период отсутствует. Значит, объект может оставаться на месте или движение происходит с постоянной скоростью.
Задача на сложение координат
Перейдём к заданиям, которые часто встречаются при изучении алгебры в школе и предлагаются для подготовки к ЕГЭ. На рисунке, который представлен ниже, изображён график функции. Требуется вычислить сумму точек экстремума.
Сделаем это для оси ординат, определив координаты критических областей, где наблюдается изменение характеристик функции. Проще говоря, найдём значения по оси ОХ для точек перегиба, а затем перейдём к сложению полученных членов. По графику очевидно, что они принимают следующие значения: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. В сумме это составляет -21, что и является ответом.
Оптимальное решение
Не стоит объяснять, насколько может оказаться важным в выполнении практических заданий выбор оптимального решения. Ведь путей достижения цели бывает много, а наилучший выход, как правило, - всего один. Это бывает крайне необходимо, к примеру, при конструировании судов, космических кораблей и самолётов, архитектурных сооружений для нахождения оптимальной формы данных рукотворных объектов.
Быстроходность средств передвижения во многом зависит от грамотного сведения к минимуму сопротивления, которое они испытывают при перемещении по воде и воздуху, от перегрузок, возникающих под действием гравитационных сил и многих других показателей. Кораблю на море необходимы такие качества, как устойчивость во время шторма, для речного судна важна минимальная осадка. При расчётах оптимальной конструкции точки экстремума на графике наглядно могут дать представление о наилучшем решении сложной проблемы. Задачи такого плана часто решаются в экономике, в хозяйственных областях, во множестве других жизненных ситуаций.
Из античной истории
Задачи на экстремум занимали даже древних мудрецов. Греческие учёные с успехом разгадали тайну площадей и объёмов путём математических вычислений. Это они первыми поняли, что на плоскости из разнообразных фигур, обладающих одним и тем же периметром, наибольшую площадь всегда имеет круг. Аналогичным образом шар наделён максимальным объёмом среди остальных предметов в пространстве с одинаковой величиной поверхности. Решению подобных задач посвятили себя такие известнейшие личности, как Архимед, Евклид, Аристотель, Аполлоний. Найти точки экстремума прекрасно удавалось Герону, который, прибегнув к расчётам, сооружал хитроумные устройства. К ним относились автоматы, перемещающиеся посредством пара, работающие по тому же принципу насосы и турбины.
Строительство Карфагена
Существует легенда, сюжет которой построен на решении одной из экстремальных задач. Результатом делового подхода, который продемонстрировала финикийская царевна, обратившаяся за помощью к мудрецам, стало строительство Карфагена. Земельный участок для этого древнего и прославленного города подарил Дидоне (так звали правительницу) вождь одного из африканских племён. Площадь надела не показалась ему вначале очень большой, так как по договору должна была покрываться воловьей шкурой. Но царевна повелела своим воинам разрезать её на тонкие полосы и составить из них ремень. Он получился настолько длинным, что охватил участок, где уместился целый город.
Истоки математического анализа
А теперь перенесёмся из античных времён в более позднюю эпоху. Интересно, что к осознанию основ математического анализа подтолкнула Кеплера в XVII веке встреча с продавцом вина. Торговец был настолько сведущ в своей профессии, что легко мог определить объём находящегося в бочке напитка, просто опуская туда железный жгут. Размышляя над подобным курьёзом, знаменитый учёный сумел решить для себя эту дилемму. Оказывается, искусные бочары тех времён наловчились изготавливать сосуды таким образом, чтобы при определённой высоте и радиусе окружности скрепляющих колец они имели максимальную вместимость.
Это стало для Кеплера поводом для дальнейших размышлений. Бочары пришли к оптимальному решению методом долгого поиска, ошибок и новых попыток, передавая свой опыт из поколения в поколение. Но Кеплер хотел ускорить процесс и научиться делать то же самое в короткий срок путём математических вычислений. Все его наработки, подхваченные коллегами, превратились в известные ныне теоремы Ферма и Ньютона - Лейбница.
Задача на нахождение максимальной площади
Представим, что мы имеем проволоку, длина которой равна 50 см. Как составить из неё прямоугольник, обладающий наибольшей площадью?
Начиная решение, следует исходить из простых и известных любому истин. Понятно, что периметр нашей фигуры будет составлять 50 см. Он же складывается из удвоенных длин обеих сторон. Это значит, что, обозначив за «Х» одну из них, другую возможно выразить как (25 - Х).
Отсюда получаем площадь, равную Х(25 - Х). Данное выражение можно представить как функцию, принимающую множество значений. Решение задачи требует найти максимальное из них, а значит, следует узнать точки экстремума.
Для этого находим первую производную и приравниваем её нулю. В результате получается простое уравнение: 25 - 2Х = 0.
Из него мы узнаём, что одна из сторон Х = 12,5.
Следовательно, другая: 25 - 12,5 = 12,5.
Получается, что решением задачи будет квадрат со стороной 12,5 см.
Как найти максимальную скорость
Рассмотрим ещё один пример. Представим, что существует тело, прямолинейное движение которого описывается уравнением S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, где пройденное расстояние выражается в метрах, а время в секундах. Требуется найти максимальную скорость. Как это сделать? Скачала находим скорость, то есть первую производную.
Получаем уравнение: V = - 3t 2 + 18t - 24. Теперь для решения задачи снова нужно найти точки экстремума. Сделать это необходимо тем же способом, что и в предыдущей задаче. Находим первую производную от скорости и приравниваем её к нулю.
Получаем: - 6t + 18 = 0. Отсюда t = 3 с. Это время, когда скорость тела принимает критическое значение. Подставляем полученное данное в уравнение скорости и получаем: V = 3 м/с.
Но как понять, что это именно максимальная скорость, ведь критическими точками функции могут быть наибольшие или наименьшие её значения? Для проверки необходимо найти вторую производную от скорости. Она выражается числом 6 со знаком минус. Это значит, что найденная точка является максимумом. А в случае положительного значения второй производной был бы минимум. Значит, найденное решение оказалось правильным.
Приведённые в качестве примера задачи являются лишь частью из тех, которые возможно решить, умея находить точки экстремума функции. На самом деле их гораздо больше. А подобные знания открывают перед человеческой цивилизацией неограниченные возможности.
Точка экстремума функции - это точка области определения функции , в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции .
Определение . Точка x 1 области определения функции f (x ) называется точкой максимума функции , если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) > f (x 0 + Δx ) x 1 максимум.
Определение . Точка x 2 области определения функции f (x ) называется точкой минимума функции , если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) < f (x 0 + Δx ) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.
Допустим, точка x 1 - точка максимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает , поэтому производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ). Тогда в точке x 1
Допустим также, что точка x 2 - точка минимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.
Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции) . Если точка x 0 - точка экстремума функции f (x ) , то в этой точке производная функции равна нулю (f "(x ) = 0 ) или не существует.
Определение . Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками .
Пример 1. Рассмотрим функцию .
В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.
Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками , позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.
Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 f (x ) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.
Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее :
- Найти производную функции.
- Приравнять производную нулю и определить критические точки.
- Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с "плюса" на "минус", то критическая точка является точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
- Вычислить значение функции в точках экстремума.
Пример 2.
Найти экстремумы функции 
.
Решение. Найдём производную функции:
Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:
.
Так как для любых значений "икса" знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:
Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:
в интервале от минус бесконечности до 3 - знак минус, то есть функция убывает,
в интервале от 3 до плюс бесконечности - знак плюс, то есть функция возрастает.
То есть, точка x = 3 является точкой минимума.
Найдём значение функции в точке минимума:
Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.
Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f (x ) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f ""(x ) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля (f ""(x ) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля (f ""(x ) < 0 ), то точкой минимума.
Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Локальный характер экстремумов функции
Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.
Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок - максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок - минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.
Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .
То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.
Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума - точками локального максимума.
Ищем экстремумы функции вместе
Пример 3.
Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Её производная 
существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками
служат лишь те, в которых ,
т.е. ,
откуда и
.
Критическими точками и
разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности:
.
Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой
точке.
Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .
Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.
Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .
Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная
функция чётная, так как 
.
Поэтому её график симметричен относительно оси Oy
и исследование можно
выполнить только для интервала .
Находим производную 
и критические точки функции:
1) 
;
2) 
,
но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.
Таким образом, заданная функция имеет две критические точки:
и
.
Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только
точку .
Для этого найдём вторую производную 
и определим её знак при :
получим .
Так как и
, то
является точкой минимума функции, при этом 
.
Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:
(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим
,
т.е. если , то .
Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок - в начале примера.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Продолжаем искать экстремумы функции вместе
Пример 8. Найти экстремумы функции .
Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .
Найдём первую производную функции.
Урок на тему: "Нахождение точек экстремумов функций. Примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.
4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.
Введение в экстремумы функций
Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:
Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого - опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:
Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.
Посмотрим на график вот такой функции:
Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 - это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 - это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).
Точки минимума и максимума
Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).
Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).
Ребята, а что такое окрестность?
Определение: Окрестность точки - множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.
Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.
Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка минимума.
Ребята, давайте введем обозначения:
Y min - точка минимума,
y max - точка максимума.
Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.
Экстремумы функции
Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.
Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.
Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.
Как же искать экстремумы функции?
Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).
Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.
Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.
Как вычислять экстремумы?
Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:
Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.
На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.
Обобщим полученные знания утверждением:
Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:
Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:
Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:
- Найти производную y’.
- Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
- Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
- По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.
Примеры нахождения точки экстремумов
1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x - x 3
Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 12 - 3x 2 ,
б) y"= 0, при x= ±2,
Точка x= -2 - точка минимума функции, точка x= 2 - точка максимума функции.
Ответ: x= -2 - точка минимума функции, x= 2 - точка максимума функции.
2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.
Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:а)
б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя,
Область определения функции: , в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю:
в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= 3 - точка минимума функции.
Ответ: x= 3 - точка минимума функции.
3) Найти точки экстремума функции y= x - 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.
Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 - точка максимума функции.
Точка x= -π/6 - точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 - точка максимума функции, x= -π/6 - точка минимума функции.
4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:а)
б) найдем значения в которой производная равна нулю: y"= 0 при x= ±2,в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 - точка минимума функции.
В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 - точки минимума функции.
Задачи для самостоятельного решения
а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x 3 - 15x - 5.б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) - x при π ≤ x ≤ 3π. г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
Точка х 0 называетсяточкой максимума (минимума ) функцииf(х), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенствоf(х) ≤f(х 0) (f(х) ≥f(х 0)).
Значение функции в этой точке называется соответственно максимумом илиминимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названиемэкстремума функции.
Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом , подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х 0 . На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают сглобальным максимумом илиминимумом (т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).
Необходимое условие экстремума . Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.
Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.
Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (илистационарными для дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.
Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.
Первое достаточное условие экстремума . Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, - то точка минимума.
Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).
Второе достаточное условие экстремума . Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.
Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.
Исследование функции на экстремум в соответствии со сформулированными теоремами включает следующие этапы:
1. Найти первую производную функции f`(x).
2. Проверить выполнение необходимого условия экстремума, т.е. найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.
3. Проверить выполнение достаточного условия экстремума, т.е. либо исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки, либо найти вторую производную f``(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Нахождение глобального максимума и минимума функции на некотором промежутке также имеет большое прикладное значение. Решение этой задачи на отрезке основано на теореме Вейерштрасса, в соответствии с которой непрерывная функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Поэтому решение включает следующие этапы:
1. Найти производную функции f`(x).
2. Найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем
с области определения:
Продифференцируем
исходную функцию:
x=1
,
то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции
и вычисляем ее значение при x
= 1
:
Следовательно,
по второму достаточному условию
экстремума, x=1
-
точка максимума. Тогда 
-
максимум функции.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
Третье достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция y=f(x) имеет производные до n -ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1 -ого порядка в самой точке . Пусть и .
Пример.
Найти
точки экстремума функции 
.
Решение.
Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.
Продифференцируем
функцию:
Производная
обращается в ноль при 
,
следовательно, это точки возможного
экстремума. Воспользуемся третьим
достаточным условием экстремума.
Находим
вторую производную и вычисляем ее
значение в точках возможного экстремума
(промежуточные вычисления опустим):
Следовательно, - точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n=1 и ).
Для
выяснения характера точек 
находим
третью производную и вычисляем ее
значение в этих точках:
Следовательно, - точка перегиба функции (n=2 и ).
Осталось
разобраться с точкой .
Находим четвертую производную и вычисляем
ее значение в этой точке:
Следовательно, - точка минимума функции.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
Точка максимума, - точка минимума функции.
10. Экстремумы функции Определение экстремума
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) > f(x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x) 0
(f " (x) 0).
Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f(x), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f(x), то либо f " (x о) = 0, либо f (x о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f " (x) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f " (x о) = 0, >0 (<0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Так как f " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.
