Линейная зависимость и независимость векторов
Определения линейно зависимой и независимой систем векторов
Определение 22
Пусть имеем систему из n-векторов
и имеем набор чисел
,
тогда
(11)
называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.
Определение 23
Система векторов
называется линейно зависимой,
если существует такой набор коэффициентов
,
из которых хотя бы один не равен нулю,
что линейная комбинация данной системы
векторов с этим набором коэффициентов
равна нулевому вектору:
Пусть
,
тогда
Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)
Система векторов
называется линейно зависимой,
если хотя бы один из векторов этой
системы можно представить в виде линейной
комбинации остальных векторов этой
системы.
Утверждение 3
Определения 23 и 24 эквивалентны.
Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)
Система векторов
называется линейно
независимой, если нулевая линейная
комбинация этой системы возможна лишь
при всех
равных нулю.
Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)
Система векторов
называется линейно
независимой, если не один из векторов
этой системы нельзя представить в виде
линейной комбинации других векторов
этой системы.
Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов
Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)
Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.
Пусть
,
тогда
.
Получим
,
следовательно, по определению линейно
зависимой системы векторов через нулевую
линейную комбинацию (12)
система
линейно зависима.
Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)
Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.
Пусть
- линейно зависимая подсистема
,
среди которых хотя бы одно не равно
нулю:
Значит, по определению 23, система линейно зависима.
Теорема 4
Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой.
Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов
Теорема 5
Два вектора
и
линейно зависимы тогда и только тогда,
когда
.
Необходимость.
и
- линейно зависимы
,
что выполняется условие
.
Тогда
,
т.е.
.
Достаточность.
Линейно зависимы.
Следствие 5.1
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору
Следствие 5.2
Для того чтобы два вектора были линейно
независимы необходимо и достаточно,
чтобы
был не коллинеарен
.
Теорема 6
Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.
Необходимость.
- линейно зависимы, следовательно, один
вектор можно представить в виде линейной
комбинации двух других.
,
(13)
где
и
.
По правилу параллелограмма
есть диагональ параллелограмма со
сторонами
,
но параллелограмм – плоская фигура
компланарны
- тоже компланарны.
Достаточность .
- компланарны. Приложим три вектора к
точке О:
C
B`
– линейно зависимы
Следствие 6.1
Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.
Следствие 6.2
Для того чтобы векторы
были линейно независимы необходимо и
достаточно, чтобы они были не компланарны.
Следствие 6.3
Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.
Теорема 7
Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Рассмотрим 4 случая:
Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точку D, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипед OB 1 D 1 C 1 ABDC .
Рассмотрим OB
1
D
1
C
1
– параллелограмм по построению по
правилу параллелограмма
.
Рассмотрим OADD 1 –
параллелограмм (из свойства параллелепипеда)
, тогда
EMBED Equation.3 .
По теореме 1
такие, что
.
Тогда
,
и по определению 24 система векторов
линейно
зависимая.
Следствие 7.1
Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.
Следствие 7.2
Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.
Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.
Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с 1 , с 2 , …, с k , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: = , в противном случае система называется линейно независимой.
Покажем, что эти определения эквивалентны.
Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:
Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.
Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе .
Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.
Определение 2. Единичным вектором, или ортом, называется n-мерный вектор , у которого i -я координата равна единице, а остальные - нулевые.
. (1, 0, 0, …, 0),
(0, 1, 0, …, 0),
(0, 0, 0, …, 1).
Теорема 1. Различные единичные векторы n -мерного пространства линейно независимы.
Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.
Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.
Каждый вектор n -мерного пространства ā (а 1 , а 2 , ..., а n ) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора
Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов является нулевым, например = . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:
Следовательно, система линейно зависима.
Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система линейно зависима, т.е. найдутся числа с 1 , с 2 , …, с r , не все равные нулю, такие, что = . Тогда
Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.
Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.
Доказательство.
Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.
Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов и m >n , то система векторов линейно зависима.
Следствие. В любой системе n -мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.
Доказательство. Каждый n -мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m >n , то, по теореме, данная система линейно зависима.
Пусть L – линейное пространство над полем Р . Пусть А1, а2, … , аn (*) конечная система векторов из L . Вектор В = a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn (16) называется Линейной комбинацией векторов ( *), или говорят, что вектор В линейно выражается через систему векторов (*).
Определение 14. Система векторов (*) называется Линейно зависимой , тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, что a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0. Если же a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) называется Линейно независимой.
Свойства линейной зависимости и независимости.
10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Действительно, если в системе (*) вектор А1 = 0, То 1×0 + 0×А2 + … + 0 ×Аn = 0 .
20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.
Пусть А1 = L ×а2. Тогда 1×А1 –l×А2 + 0×А3 + … + 0×А N = 0.
30. Конечная система векторов (*) при n ³ 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
Þ Пусть (*) линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, при котором a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что a1 ¹ 0. Тогда существует и А1 = ×a2×А2 + … + ×an×А N. Итак, вектор А1 является линейной комбинацией остальных векторов.
Ü Пусть один из векторов (*) является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что это первый вектор, т. е. А1 = B2А2 + … + bnА N, Отсюда (–1)×А1 + b2А2 + … + bnА N = 0 , т. е. (*) линейно зависима.
Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.
Определение 15. Система векторов А1, а2, … , аn , … (**) называется Линейно зависимой, Если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого конечного числа остальных векторов. В противном случае система (**) называется Линейно независимой.
40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы.
50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно независима.
60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система тоже линейно зависима.
Пусть даны две системы векторов А1, а2, … , аn , … (16) и В1, в2, … , вs, … (17). Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему (16).
Определение 16. Две системы векторов называются Эквивалентными , если каждая из них линейно выражается через другую.
Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости).
Пусть и – две конечные системы векторов из L . Если первая система линейно независима и линейно выражается через вторую, то N £ s.
Доказательство. Предположим, что N > S. По условию теоремы
|
|
Так как система линейно независима, то равенство (18) Û Х1=х2=…=х N= 0. Подставим сюда выражения векторов : …+=0 (19). Отсюда (20). Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18) выполняется только при Х1=х2=…=х N= 0. Найдём, когда верно равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему (21). Так как эта система имеет нулевое , то она |
(21)совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое Х10, х20, …, х N0 . При этих значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, N £ s.
Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы, то они содержат одинаковое число векторов.
Определение 17. Система векторов называется Максимальной линейно независимой системой векторов Линейного пространства L , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже линейно зависимой.
Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы векторов из L Содержат одинаковое число векторов.
Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны.
Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого пространства.
Примеры:
1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.
2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных вектора составляют максимальную линейно независимую систему.
3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой.
4. Во множестве всех многочленов степени не выше N С действительными (комплексными) коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn Является максимальной линейно независимой.
5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами примерами максимальной линейно независимой системы являются
а) 1, х, х2, … , хn, … ;
б) 1, (1 – х ), (1 – х )2, … , (1 – х )N, …
6. Множество матриц размерности M ´ N является линейным пространством (проверьте это). Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является система матриц Е11 = , Е12 =, … , Е Mn = .
Пусть дана система векторов С1, с2, … , ср (*). Подсистема векторов из (*) называется Максимальной линейно независимой Подсистемой Системы ( *) , если она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится линейно зависимой. Если система (*) конечна, то любая её максимальная линейно независимая подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно). Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы (*) называется Рангом Этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.
Система векторов , называется линейно зависимой , если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=">.
Если же это равенство выполняется только в том случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой .
Теорема. Система векторов , будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.
Пример 1.
Многочлен 
является линейной комбинацией многочленов https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Многочлены составляют линейно независимую систему, так как многочлен https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Пример 2. Система матриц , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> является линейно независимой, так как линейная комбинация равна нулевой матрице только в том случае, когда https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависимой.
Решение.
Составим линейную комбинацию данных векторов https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22">.
Приравнивая одноименные координаты равных векторов, получаем https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Окончательно получим
и
Система имеет единственное тривиальное решение, поэтому линейная комбинация данных векторов равна нулю только в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому данная система векторов линейно независима.
Пример 4. Векторы линейно независимы. Какими будут системы векторов
a).
;
b).
?
Решение.
a). Составим линейную комбинацию и приравняем её к нулю
Используя свойства операций с векторами в линейном пространстве, перепишем последнее равенство в виде
Так как векторы линейно независимы, то коэффициенты при должны быть равны нулю, т. е..gif" width="12" height="23 src=">
Полученная система уравнений имеет единственное тривиальное решение 
.
Так как равенство (*) выполняется только при https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независимы;
b). Составим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src=">(**)
Применяя аналогичные рассуждения, получим
Решая систему уравнений методом Гаусса, получим
или
Последняя система имеет бесконечное множество решений https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким образом, существует, ненулевой набор коэффициентов, для которого выполняется равенство (**)
. Следовательно, система векторов – линейно зависима.
Пример 5 Система векторов линейно независима, а система векторов линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24">(***)
В равенстве (***) . Действительно, при система была бы линейно зависимой.
Из соотношения (***)
получаем 
или 
Обозначим 
.
Получим 
Задачи для самостоятельного решения (в аудитории)
1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
2. Система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима тогда и только тогда, когда, а=0 .
3. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда, векторы пропорциональны (т. е. один из них получается из другого умножением на число).
4. Если к линейно зависимой системе добавить вектор, то получится линейно зависимая система.
5. Если из линейно независимой системы удалить вектор, то полученная система векторов линейна независима.
6. Если система S линейно независима, но становится линейно зависимой при добавлении вектора b , то вектор b линейно выражается через векторы системы S .
c). Система матриц , , в пространстве матриц второго порядка.
10. Пусть система векторов a, b, c векторного пространства линейно независима. Докажите линейную независимость следующих систем векторов:
a). a+ b, b, c.
b). a+ https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– произвольное число
c). a+ b, a+c, b+c.
11. Пусть a, b, c – три вектора на плоскости, из которых можно сложить треугольник. Будут ли эти векторы линейно зависимы?
12. Даны два вектора a1=(1, 2, 3, 4), a2=(0, 0, 0, 1) . Подобрать ещё два четырёхмерных вектора a3 и a4 так, чтобы система a1, a2, a3, a4 была линейно независимой.
Линейная зависимость векторов
При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной и той же размерности. Такие совокупности называют системой векторов и обозначают
Определение. Линейной комбинацией векторов называется вектор вида
где - любые действительные числа. Также говорят, что вектор линейно выражается через векторы или разлагается по этим векторам.
Например, пусть даны три вектора: , , . Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор
Определение. Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов называется линейной оболочкой этой системы.
Определение. Система ненулевых векторов называется линейно зависимой , если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:
Если же последнее равенство для данной системы векторов возможно лишь при , то эта система векторов называется линейно независимой .
Например, система двух векторов , линейно независима; система двух векторов и линейно зависима, так как .
Пусть система векторов (19) линейно зависима. Выберем в сумме (20) слагаемое, в котором коэффициент , и выразим его через остальные слагаемые:
Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зависимой системы (19) оказался выраженным через другие векторы этой системы (или разлагается по остальным ее векторам).
Свойства линейно зависимой системы векторов
1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.
2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.
3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится, по крайней мере, один вектор, который линейно выражается через остальные.
Геометрический смысл линейной зависимости в случае двухмерных векторов на плоскости: когда один вектор выражается через другой, мы имеем , т.е. эти векторы коллинеарны, или что то же самое, находятся на параллельных прямых.
В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны . Достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.
Теорема. В пространстве любая система, содержащая векторов, линейно зависима при .
Пример. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми.
Решение . Составим векторное равенство . Записывая в виде вектор-столбцов, получаем
Таким образом, задача свелась к решению системы
Решим систему методом Гаусса:
В результате получим систему уравнений:
которая имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно найдется одно ненулевое, следовательно, векторы линейно зависимые.
